Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2015 – varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 : 0,5 1 0
2 − = .
5p 2. Calculați ( ) ( ) ( )1 0 1f f f− + + , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 2
f x x x= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 1 5x + = .
5p 4. Un obiect costă 150 lei. Calculați prețul obiectului după o scumpire cu 30% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,5A şi ( )3,5B . Determinaţi distanța de la
punctul A la punctul B .
5p 6. Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC dreptunghic în A , știind că 5AC = și
( ) 45m B = °∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2 2
1 1
M − 
=  
− − 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 4M = .
5p b) Arătați că 2 23 4M M M I O⋅ + + = , unde 2
0 0
0 0
O  
=  
 
.
5p c) Determinaţi numerele reale a și b astfel încât 2M M M aM bI⋅ ⋅ = + .
2. Se consideră polinomul 3 2
5 5 1f X X X= − + − .
5p a) Arătați că ( )1 0f = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) 2 0f a f a+ − + ≤ , pentru orice număr real a .
5p c) Demonstrați că 2 2 2
1 2 3 1 2 315x x x x x x+ + = , unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia : →ℝ ℝf , ( ) 3
2 6 1f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 6 1 1f x x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstraţi că ( ) ( ) ( ) ( )2012 2014 2013 2015f f f f+ ≤ + .
2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 2 4f x x= − .
5p a) Arătați că ( )( )
1
0
1
4 3
f x dx+ =∫ .
5p b) Determinați aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei :g →ℝ ℝ , ( ) ( )
1
5
g x f x
= + , axa
Ox și dreptele de ecuații 0x = și 1x = .
5p c) Determinaţi numărul real a , 1a > , pentru care ( )
1
4 12
a f x dx
x
+ =∫ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1
0,5 2
= 2p
1 1
: 1 0
2 2 − = 3p
2. ( )1 0f − = , ( )0 0f = și ( )1 2f = 3p
( ) ( ) ( )1 0 1 2f f f− + + = 2p
3. 3 1 25x + = 3p
8x = , care verifică ecuația 2p
4. 30% din 150 este 30 150 45
100 ⋅ = 3p
Prețul după scumpire este 150 45 195+ = de lei 2p
5. ( ) ( )2 2
3 1 5 5AB = − + − = 3p
2= 2p
6. ABC∆ este isoscel 3p
5AB = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )
2 2
det 2 1 2 1
1 1
M −
= = − ⋅ − − ⋅ − =
− − 3p
( )2 2 4= − − = 2p
b) 2 6
3 1
M M − 
⋅ =  
− 
, 6 6
3 3 3
M − 
=  
− − 
, 2
4 0
4 0 4
I  
=  
  3p
2 2
2 6 4 6 6 0 0 0
3 4 3 3 0 1 3 4 0 0
M M M I O
− + − + +   
⋅ + + = = =   
− + − − +    2p
c) 2 10
5 7
M M M  
⋅ ⋅ =  
− 
, 2
2 2a b a
aM bI a a b
− + 
+ =  
− − +  3p
2 10 2 2 5
5 7
a b a a
a a b
− +   
= ⇔ =   
− − − +   
, 12b = 2p
2.a) ( ) 3 2
1 1 5 1 5 1 1f = − ⋅ + ⋅ − = 3p
1 5 5 1 0= − + − = 2p
b) ( ) 3 2
5 5 1f a a a a= − + − , ( ) 3 2
5 5 1f a a a a− = − − − − 2p
( ) ( ) 2
2 10 0f a f a a+ − + = − ≤ , pentru orice număr real a 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3 5x x x+ + = , 1 2 1 3 2 3 5x x x x x x+ + = , 1 2 3 1x x x = 3p
2 2 2 2
1 2 3 1 2 35 2 5 15 1 15x x x x x x+ + = − ⋅ = ⋅ = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
6 6f x x′ = − = 3p
( ) ( )( )2
6 1 6 1 1x x x= − = − + , x ∈ ℝ 2p
b) ( )1 3f = − , ( )1 0f ′ = 2p
Ecuaţia tangentei este ( ) ( )( )1 1 1 3y f f x y′− = − ⇒ = − 3p
c) ( ) 0f x′ ≥ , pentru orice [ )1,x ∈ +∞ , deci f este crescătoare pe intervalul [ )1, +∞ 3p
( ) ( )2012 2013f f≤ și ( ) ( )2014 2015f f≤ , deci ( ) ( ) ( ) ( )2012 2014 2013 2015f f f f+ ≤ + 2p
2.a)
( )( )
1 1 2
0 0
4f x dx x dx+ = =∫ ∫ 2p
3 1 1
03 3
x
= = 3p
b)
( )
1 1
2
0 0
11 arctg 01
g x dx dx x
x
= = = =
+
∫ ∫
A 3p
arctg1 arctg 0 4
π
= − = 2p
c) ( ) 2 2
1 1
4 1
12 2 2
a a af x x a
dx x dx
x
+ = = = −∫ ∫ 3p
2 21 12 25 0
2 2
a a− = ⇔ − = și, cum 1a > , obținem 5a = 2p