Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2015 – sesiunea specială, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 3
2 : 5
2 10
 − = 
  .
5p 2. Calculați ( ) ( )2 2f f− + , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 3x − = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10A = , acesta
să fie multiplu de 5.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( ) ( )0,0 , 0, 4O M şi ( )4,0N . Arătați că triunghiul
MON este isoscel.
5p 6. Calculați aria triunghiului ABC dreptunghic în A , știind că 10AB = și 12AC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3 2
5 3
A − 
=  
− 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
  .
5p a) Arătați că det 1A = .
5p b) Arătați că 2 2A A I O⋅ + = , unde 2
0 0
0 0
O  
=  
  .
5p c) Demonstrați că ( )2det 1A aI− ≥ , pentru orice număr real a .
2. Se consideră polinomul 3 2
5 5f X X X= + + + .
5p a) Arătați că ( )5 0f − = .
5p b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 6 5X X+ + .
5p c) Demonstrați că 3 2 1
1 2 1 3 2 3
23
5
x x x
x x x x x x
+ + = − , unde 1x , 2x şi 3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 24 2 1x xf x− += .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 4 1 1f x x x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Demonstrați că ( )0 1f x≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x ∈ − .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
f x x x= + .
5p a) Arătați că ( )( )
3
1
26
3
f x x dx− =∫ .
5p b) Demonstrați că funcția ( ): 0,F +∞ → ℝ , ( ) 3 2 2015
3 3
x x x
F x = + + este o primitivă a funcției f .
5p c) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției ( )0g : ,+∞ → ℝ , ( ) ( )( ) x
g x f x x e= − , axa
Ox și dreptele de ecuații 1x = și 2x = , are aria egală cu ( )2 1e e − .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3
2 2 2
− = 3p
3 10 5
2 3
⋅ = 2p
2. ( )2 0f − = , ( )2 0f = 2p
( ) ( )2 2 0f f− + = 3p
3. 2 1 9x − = 3p
5x = , care verifică ecuația 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 1p
În mulțimea A sunt 2 multipli de 5, deci sunt 2 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 2 1
nr. cazuri posibile 10 5
p = = = 2p
5. 4MO = 2p
4ON MON= ⇒ ∆ este isoscel 3p
6. 10 12
2 2
ABC
AB AC
∆
⋅ ⋅
= = =
A 3p
60= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
3 2
det 3 3 2 5
5 3
A −
= = ⋅ − − − ⋅ =
− 3p
9 10 1= − + = 2p
b) 1 0
0 1
A A − 
⋅ =  
−  3p
2 2
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
A A I O
− +   
⋅ + = = =   
− +    2p
c) ( ) 2
2 2
3 2 3 2
det 9 10
5 3 5 3
a a
A aI A aI a
a a
− − − − 
− = ⇒ − = = − + + = 
− − − −  3p
2 1 1a= + ≥ , pentru orice număr real a 2p
2.a) ( ) ( ) ( ) ( )3 2
5 5 5 5 5 5f − = − + ⋅ − + − + = 3p
125 125 5 5 0= − + − + = 2p
b) Câtul este 1X − 3p
Restul este 2 10X + 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3 5x x x+ + = − , 1 2 1 3 2 3 1x x x x x x+ + = , 1 2 3 5x x x = − 3p
( ) ( ) ( )
2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 33 2 1
1 2 1 3 2 3 1 2 3
2 5 2 1 23
5 5
x x x x x x x x xx x x
x x x x x x x x x
+ + − + + − − ⋅
+ + = = = −
− 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 3
' 4 4xf x x= − = 3p
( ) ( )( )2
4 1 4 1 1x x x x x= − = − + , x ∈ ℝ 2p
b) ( )1 0f = , ( )' 1 0f = 2p
Ecuaţia tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1 0y f f x y− = − ⇒ = 3p
c) ( ) ( ) ( )' 1 ' 0 ' 1 0f f f− = = = , ( )' 0f x ≥ , pentru [ ]1,0x ∈ − și ( )' 0f x ≤ , pentru [ ]0,1x ∈ 2p
( ) ( )1 1 0f f− = = și ( ) ( )0 1 0 1f f x= ⇒ ≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x ∈ − 3p
2.a)
( )( )
3 3 3
2
1 1
3
13
x
f x x dx x dx− = = =∫ ∫ 3p
3 3
3 1 26
3 3 3
= − = 2p
b)
( ) 2
2
' 3 2 1
3 3
x x x x
F x  
+ + ⋅

= =
 3p
( )2
x x f x= + = , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci F este o primitivă a funcției f 2p
c) 2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2
2 4 2
1 1
x x x x x
x e dx x e xe dx e e xe e dx
 
 = = − = − − − =
 
 
∫ ∫ ∫
A 3p
( ) ( )2 2 22
4 2 2 2 2 2 1
1
x
e e e e e e e e e= − − − + = − = − 2p