Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2015 – varianta 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 1z i= + . Arătați că 2 2 0z i− = .
5p 2. Calculați ( )( )3g f
 , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 3f x x= − și :g →ℝ ℝ , ( ) 2015g x x= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 5 3 3
5 5x x x− −
= .
5p 4. Determinaţi numărul submulțimilor cu patru elemente ale mulțimii { }1, 2, 3, 4, 5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul ( )0, 4A . Determinaţi ecuaţia dreptei d care trece
prin punctul A şi este paralelă cu dreapta de ecuaţie 2 7y x= + .
5p 6. Determinaţi aria triunghiului MNP , ştiind că 12MN = , 3MP = și ( ) 30m M = °∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1
1
a
A a a
− 
=  
− 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 1A = .
5p b) Determinați numerele reale a , pentru care ( )( )det 0A a = .
5p c) Arătați că ( ) ( ) ( ) 2A a A b A a b abI= + + , pentru orice numere reale a și b , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
2. Se consideră polinomul 3 2f X mX= − + , unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( )0 2f = .
5p b) Determinați numărul real m , știind că restul împărțirii lui f la polinomul 2 2g X X= + − este
egal cu 0 .
5p c) Demonstrați că 3 3 3
1 2 3 6x x x+ + = − , pentru orice număr real m , unde 1x , 2x şi 3x sunt rădăcinile
polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 1x
f x e x= − − .
5p a) Arătați că ( ) ( )
0
0
lim 0
x
f x f
x→
− = .
5p b) Arătați că funcția f este descrescătoare pe intervalul ( ],0−∞ .
5p c) Demonstrați că 1x
e x≥ + , pentru orice număr real x .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 5f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( )( )
1
0
1
2 5 3
f x x dx+ − =∫ .
5p b) Calculaţi ( )
( )
2
0
'f x dx
f x∫ .
5p c) Arătați că ( )
2015
2014
1 1
4
dx
f x ≤∫ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2 2
1 1 2 2i i i i+ = + + = 3p
2 2 2 2 0z i i i− = − = 2p
2. ( )3 0f = 2p
( )( ) ( )( ) ( )3 3 0 2015g f g f g= = =
 3p
3. 2 2
5 3 3 2 3 0x x x x x− = − ⇔ − − = 3p
1 1x = − și 2 3x = 2p
4. 4
5
5!
4! 1!
C = =
⋅ 3p
=5 2p
5. Panta dreptei d este egală cu 2 2p
Ecuația dreptei d este 2 4y x= + 3p
6. 12 3 sin 30 6 3
2 2
MNP∆
⋅ ⋅ ° ⋅
= = =
A 3p
9= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
1 0 1 0
0 det 0
0 1 0 1
A A
 
= ⇒ = = 
  2p
1 1 0 0 1= ⋅ − ⋅ = 3p
b) ( )( ) 21
det 1
1
a
A a a
a
−
= = −
− 3p
2 11 0 1a a− = ⇔ = − și 2 1a = 2p
c) ( ) ( ) 1
1
ab b a
A a A b a b ab
+ − − 
=  
− − + 
, ( ) 1
1
a b
A a b a b
− − 
+ =  
− − 
, 2
0
0
ab
abI ab
 
=  
  3p
( ) ( ) ( )2
1
1
ab a b
A a b abI A a A b
a b ab
+ − − 
+ + = = 
− − + 
, pentru orice numere reale a și b 2p
2.a) ( ) 3
0 0 0 2f m= − ⋅ + = 3p
0 0 2 2= − + = 2p
b) Restul este ( )3 m X− 3p
3 0 3m m− = ⇔ = 2p
c) 1 2 3 0x x x+ + = 2p
( )3 3 3
1 2 3 1 2 3 6 0 6 6x x x m x x x m+ + = + + − = ⋅ − = − 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )
0
0
lim ' 0
x
f x f f
x→
− = 2p
( )' 1x
f x e= − și ( ) ( ) ( )
0
0
' 0 0 lim 0
x
f x f
f x→
−
= ⇒ = 3p
b) 1 0x
e x≤ ⇔ ≤ 2p
( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ],0x ∈ −∞ , deci f este descrescătoare pe intervalul ( ],0−∞ 3p
c) ( )' 0 0f = și ( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ , deci f este crescătoare pe intervalul [ )0,+∞ 2p
Cum f este descrescătoare pe intervalul ( ],0−∞ , obţinem ( ) ( )0 1x
f x f e x≥ ⇒ ≥ + , pentru
orice număr real x 3p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1
2 2
0 0 0
2 5 2 5 2 5f x x dx x x x dx x dx+ − = − + + − = =∫ ∫ ∫ 2p
3 1 1
03 3
x
= = 3p
b) ( )
( ) ( )
2 2
0
2' ln 2 5 0
f x dx x x
f x = − + =∫ 3p
ln 5 ln 5 0= − = 2p
c) ( ) ( )2
1 4 4f x x= − + ≥ , pentru orice număr real x 2p
( )
2015 2015
2014 2014
20151 1 1 1
20144 4 4
dx dx x
f x ≤ = =∫ ∫ 3p