Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2015 – varianta 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați ( )( )2 3 2 3i i− + , unde 2 1i = − .
5p 2. Calculați ( )( )3f f , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2
3 3log 17 log 81x + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să fie divizibil cu 5.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( ) ( )1, , 3, 2A a B și ( )2,1C . Determinați numărul real
a pentru care punctele A , B și C sunt coliniare.
5p 6. Se consideră ( ) sin cos
3 2
x x
E x = + , unde x este număr real. Arătați că 1 2
2 2
E
π +  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1 2
2 4
a
A a a
 
=  
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )1 1 2 0A A A+ − = .
5p b) Determinați numerele reale a pentru care ( )det ( ) 0A a = .
5p c) Rezolvaţi în mulțimea ( )2 ℝ
M ecuaţia ( ) ( )2 8A X A⋅ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 2 6 6 21x y xy x y= − − + .
5p a) Arătați că ( )3 3 3− = .
5p b) Arătați că ( )( )2 3 3 3x y x y= − − + , pentru orice numere reale x şi y .
5p c) Calculați 1 2 3 2015  … .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
3 x
ef x x= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
0
0
lim 3
x
f x f
x→
− = .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Arătaţi ca funcţia f este convexă pe ℝ .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1
f x x x
= + .
5p a) Arătați că ( )
3
1
1 4f x dx
x
 
− = 
 
∫ .
5p b) Arătați că ( )
2 2
1
1 x
f x e dx e
x
 
− = 
 
∫ .
5p c) Determinaţi numărul real a , 1a > , ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa
Ox şi dreptele de ecuaţii 1x = și x a= , are aria egală cu 4 ln a+ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) 2
2 3 2 3 4 9i i i− + = − = 3p
13= 2p
2. ( )3 5f = 2p
( )( ) ( )3 5 9f f f= = 3p
3. 2 2
17 81 64x x+ = ⇔ = 2p
1 8x = − și 2 8x = , care verifică ecuația 3p
4. Sunt 90 numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
Sunt 18 numere naturale de două cifre, divizibile cu 5, deci sunt 18 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 18 1
nr. cazuri posibile 90 5
p = = = 2p
5. 2
2
AB
a
m −
= și 1BCm = 2p
0AB BCm m a= ⇔ = 3p
6. sin cos
2 6 4
E
π π π  = + = 
  2p
1 2 1 2
2 2 2
+
= + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 1 2
1 2 4
A  
=  
 
, ( ) 1 2
1 2 4
A − 
− =  
− 
, ( ) 1 0
0 0 4
A  
=  
  3p
( ) ( ) ( )
2 0 1 0
1 1 2 2 0
0 8 0 4
A A A
   
+ − = = =   
    2p
b) ( )( ) 21 2
det 4 4
2 4
a
A a a
a
= = − 3p
2 14 4 0 1a a− = ⇔ = − şi 2 1a = 2p
c)
( ) 1 4
2 4 4
A  
=  
 
, ( )( ) ( )( ) 1
1 1
3 3
det 2 12 0 2 1 1
3 12
A A −
 
− 
 = − ≠ ⇒ =  − 
 
3p
( )( ) ( )
1
1 1
1 16 5 43 3
2 8 1 1 16 4 1 5
3 12
X A A X X
−
 
−  −   
 = ⋅ ⇒ = ⇒ =   
−    − 
 
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) ( ) ( )3 3 2 3 3 6 3 6 3 21− = ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ + =
 3p
18 18 18 21 3= − + − + = 2p
b) 2 6 6 18 3x y xy x y= − − + + =
 2p
( ) ( ) ( )( )2 3 6 3 3 2 3 3 3x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
c) 3 3x =
 și 3 3y =
 , pentru x și y numere reale 2p
( ) ( )1 2 3 2015 1 2 3 8 3 10 11 2015= =
 
 
…
 
 
 
…
 
 
 
 
…

( )3 10 11 2015 3= =
 
 
…
 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )
0
0
lim ' 0
x
f x f f
x→
− = 2p
( )' 3 2x
f x e x= + și ( ) ( ) ( )
0
0
' 0 3 lim 3
x
f x f
f x→
−
= ⇒ = 3p
b) ( )0 3f = , ( )' 0 3f = 2p
Ecuaţia tangentei este ( ) ( )( )0 0 0 3 3y f f x y x′− = − ⇒ = + 3p
c) ( )'' 3 2x
f x e= + , x ∈ ℝ 2p
( )'' 0f x > , pentru orice număr real x , deci f este convexă pe ℝ 3p
2.a)
( )
3 3 2
1 1
31 1
12
f x dx x dx x
x
 
− = = = 
 
∫ ∫ 3p
( )
1 9 1 4
2
= − = 2p
b)
( )
2 2 2
1 1 1
21
1
x x x x
f x e dx xe dx xe e dx
x
 
− = = − = 
 
∫ ∫ ∫ 3p
2 22
2 1
x
e e e e= − − = 2p
c)
( ) 2 2
1 1
1 1
ln ln
2 21
a a ax a
f x dx x dx x a
x
  − 
= = + = + = +       
∫ ∫
A 3p
2 21 ln 4 ln 9
2
a a a a
− + = + ⇔ = și cum 1a > , obținem 3a = 2p