Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2015 – varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 3z i= + și 2 3z i= − . Arătați că numărul 1 2z z este real.
5p 2. Determinaţi numărul real a , știind că punctul ( )1, 1A aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( )f x x a= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 3 2 4x x x+ − = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea { }1, 2, 3,..., 80A = , acesta să fie divizibil
cu 7.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0, 0O , ( )1, 2A și ( )2,B a . Determinați numărul
real a , știind că punctele O , A și B sunt coliniare.
5p 6. Se consideră ( ) cos sin
2
x
E x x= + , unde x este număr real. Arătați că 3
3
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2
2
x
A x x
 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 4A = .
5p b) Determinaţi numărul real a , știind că ( ) ( ) ( )1 3 2A A a A+ = .
5p c) Arătați că ( ) ( ) ( ) 22A x A y A x y xyI= + + , pentru orice numere reale x și y , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 3 6 6 10x y xy x y∗ = + + + .
5p a) Arătați că ( )2 2 2∗ − = − .
5p b) Arătați că ( )( )3 2 2 2x y x y∗ = + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuația x x x x∗ ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )1 x
f x x e= + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )' 2 x
f x x e= + , x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Arătați că funcția f este convexă pe intervalul [ )3,− +∞ .
2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 3
2
3
1
x x
f x x
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
1 2
1
1 0x f x dx
−
+ =∫ .
5p b) Arătați că ( )
1
0
1 ln 2
2
f x dx = +∫ .
5p c) Determinaţi numărul real m , 0m > , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției
:g →ℝ ℝ , ( ) ( )g x f x x= − , axa Ox și dreptele de ecuații 0x = și x m= , are aria egală cu ln 2 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) 2
1 2 3 3 9z z i i i= + − = − = 3p
10= , care este număr real 2p
2. ( )1 1 1 1f a= ⇔ + = 3p
0a = 2p
3. 3 3
2 4 2 4 0x x x x+ − = ⇔ − = 3p
2x = 2p
4. Mulțimea A are 80 de elemente, deci sunt 80 de cazuri posibile 1p
În mulțimea A sunt 11 numere divizibile cu 7, deci sunt 11 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 11
nr. cazuri posibile 80
p = = 2p
5. 2OAm = și 2
OB
a
m = 2p
4OA OBm m a= ⇔ = 3p
6. cos sin
3 6 3
E
π
π π  = + = 
  2p
3 3 3
2 2
= + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
2 0 2 0
0 det 0 2 2 0 0
0 2 0 2
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
4 0 4= − = 2p
b) ( ) 2 1
1 1 2
A  
=  
 
, ( ) 2 3
3 3 2
A  
=  
 
, ( ) 2 2
2 2 2
A  
=  
  3p
4 4 2 2 2
4 4 2 2
a a
   
= ⇔ =   
    2p
c)
( ) ( ) 4 2 2
2 2 4
xy x y
A x A y x y xy
+ + 
=  
+ +  2p
( ) ( )
( ) ( ) ( )2
4 22 0
2 2 2 42 0
xy x yx y xy
A x y xyI A x A y
x y xyx y xy
 + + +   
+ + = + = =     + ++     
, pentru
orice numere reale x și y
3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) ( ) ( )2 2 3 2 2 6 2 6 2 10∗ − = ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + = 3p
12 12 12 10 2= − + − + = − 2p
b) 3 6 6 12 2x y xy x y∗ = + + + − = 2p
( ) ( ) ( )( )3 2 6 2 2 3 2 2 2x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
c) ( )3
9 2 2x x x x∗ ∗ = + − 2p
( )3
1
7
9 2 2 3
x x x+ − = ⇔ = − , 2 2x = − , 3
5
3
x = − 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( ) ( )''' 1 1x x
f x x e x e= + ⋅ + + ⋅ = 2p
( ) ( )1 2x x x
e x e x e= + + = + , x ∈ ℝ 3p
b) ( )0 1f = , ( )' 0 2f = 2p
Ecuaţia tangentei este ( ) ( )( )0 0 0 2 1y f f x y x′− = − ⇒ = + 3p
c) ( ) ( )'' 3 x
f x x e= + , x ∈ ℝ 2p
( )'' 0f x ≥ , pentru orice [ )3,x ∈ − +∞ , deci f este convexă pe intervalul [ )3,− +∞ 3p
2.a)
( ) ( )
1 13 4 2
2 3
2
1 1
13
1 3 3 14 21
x x x x
x dx x x dx
x− −
 +
+ ⋅ = + = + ⋅ =   −+  
∫ ∫ 3p
1 3 1 3 0
4 2 4 2
   
= + − + =   
    2p
b) 1 13
2 2
0 0
3 2
1 1
x x x
dx x dx
x x
+  
= + = 
+ + 
∫ ∫ 2p
( )
2 2 1 1
ln 1 ln 2
02 2
x x
 
= + + = +  
 
3p
c)
( ) ( ) ( )2 2
2
0 0
2 ln 1 ln 1
01
m m mx
g x dx dx x m
x
= = = + = +
+
∫ ∫
A 3p
( )2 2
ln 1 ln 2 1 2m m+ = ⇔ + = și, cum 0m > , obținem 1m = 2p