Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2015 – varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați al doilea termen al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1 1a = și rația 2r = .
5p 2. Determinaţi numărul real m , știind că punctul ( ),0A m aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 1f x x= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
2 2log 4 log 8x + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2,3,4,5,6,7,8M = , acesta să fie
divizibil cu 3.
5p 5. Determinaţi numărul real a , știind că vectorii ( )1 4u a i j= + +
   și 2v i j= +
   sunt coliniari.
5p 6. Arătați că 3
sin 2 2
x = , știind că 1
sin 2
x = și 0, 2
x
π 
∈ 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 3
1 2
a
A a a
 
=  
− 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )2014 2016 2 2015A A A+ = .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( )( )det 0A a = .
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )( )det 2 3 0A xA+ = .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 2x y xy x y∗ = − − − − .
5p a) Arătați că ( )1 1 1− ∗ = − .
5p b) Arătaţi că ( )( )1 1 1x y x y∗ = − + + − , pentru orice numere reale x şi y .
5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )2 2 3 5x x+ ∗ − = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 4 2
8 16f x x x= − + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )' 4 2 2f x x x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Calculați ( ) 4
2
lim 1x
f x x
x→ +∞
−
+ .
5p c) Determinaţi coordonatele punctelor situate pe graficul funcției f , în care tangenta la graficul
funcției f este paralelă cu axa Ox .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2x
f x x
+
= .
5p a) Arătați că ( )
2
1
7
2
x f x dx =∫ .
5p b) Demonstrați că funcția ( ): 0,F +∞ → ℝ , ( ) 2 ln 2015F x x x= + + este o primitivă a funcției f .
5p c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcţiei ( ): 0,g +∞ → ℝ , ( ) ( )( )1 lng x f x x= − ,
axa Ox şi dreptele de ecuaţii 1x = și x e= are aria egală cu 1.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 1 1 2a a r= + = + = 3p
3= 2p
2. ( ) 0 1 0f m m= ⇔ + = 3p
1m = − 2p
3. 2 2
4 8 4x x+ = ⇔ = 2p
1 2x = − şi 2 2x = , care verifică ecuația 3p
4. Mulțimea M are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile 1p
În mulțimea M sunt 2 numere divizibile cu 3, deci sunt 2 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 2 1
nr. cazuri posibile 8 4
p = = = 2p
5. 1 4
1 2
a + = 3p
1a = 2p
6. Cum 0, 2
x
π 
∈ 
  , obținem 3
cos 2
x = 2p
1 3 3
sin 2 2sin cos 2 2 2 2
x x x= = ⋅ ⋅ = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2014 3
2014 2013 2
A  
=  
 
, ( ) 2016 3
2016 2015 2
A  
=  
 
, ( ) 2015 3
2015 2014 2
A  
=  
  3p
( ) ( ) ( )
4030 6 2015 3
2014 2016 2 2 2015
4028 4 2014 2
A A A
   
+ = = =   
    2p
b) ( )( ) 3
det 3
1 2
a
A a a
a
= = −
− 3p
3 0 3a a− = ⇔ = 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 3 3 3 2 3 3 3
2 3 det 2 3 1
1 2 2 2 1 2 2 2
x x
A xA x A xA x
x x
+ +     
+ = + = ⇒ + = +     
+ +      3p
1 0 1x x+ = ⇔ = − 2p
2.a) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 2− ∗ = − − ⋅ − − − − = 3p
1 1 1 2 1= + − − = − 2p
b) 1 1x y xy x y∗ = − − − − − = 2p
( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1x y y x y= − + − + − = − + + − , pentru orice numere reale x și y 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) ( ) ( ) ( )( )2 2 3 3 2 2 1x x x x+ ∗ − = − + − − 2p
2 12 0 2x x x+ = ⇔ = − și 2 0x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 3
' 4 16f x x x= − = 3p
( ) ( )( )2
4 4 4 2 2x x x x x= − = − + , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 4 2
2 2
8 16
lim lim
1 1x x
f x x x
x x→ +∞ → +∞
− − +
= =
+ + 2p
8= − 3p
c) ( ) ( )( )' 0 2 2 0f x x x x= ⇔ − + = 2p
Coordonatele punctelor sunt 1 2x = − , 1 0y = ; 2 0x = , 2 16y = și 3 2x = , 3 0y = 3p
2.a)
( ) ( )
2 2 2
1 1
2
2 2 12
x
x f x dx x dx x
 
= + = + =  
 
∫ ∫ 3p
5 7
6 2 2
= − = 2p
b) ( ) ( ) 2'' 2ln 2015 1F x x x x
= + + = + = 3p
( )
2x f x
x
+
= = , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci F este o primitivă a funcției f 2p
c)
( ) 2
1 1
2 ln ln 1
e e e
g x dx x dx x
x
= = = =∫ ∫
A 3p
2 2
ln ln 1 1e= − = 2p