Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2015 – sesiunea specială, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați rația progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 3 6a = şi 4 8a = .
5p 2. Determinați valoarea minimă a funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2 9f x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 1x x+ = + .
5p 4. Determinaţi numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1A şi ( )0,3B . Determinaţi ecuația dreptei AB .
5p 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC în care 8AB = şi 6
C
π
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 2
3 4
A  
=  
 
şi ( ) 2
3 6
x
B x  
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 2A = − .
5p b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )( )2det 8B x I+ = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p c) Determinaţi numărul real x pentru care ( ) ( )A B x B x A⋅ = ⋅ .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 7 7 56x y xy x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că ( )7 7 7− ∗ = .
5p b) Arătați că ( )( )7 7 7x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Calculați 1 2 3 2015∗ ∗ ∗ ∗⋯ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) lnx
f x e x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
1
1
lim 1x
f x f e
x→
− =
− .
5p b) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Arătați că funcţia f este convexă pe intervalul ( )0, +∞ .
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 1
1
f x x
= + .
5p a) Arătaţi că ( )
1
0
1 3
2
dx
f x =∫ .
5p b) Arătați că ( )
1 2
0
1 ln 2
2
x f x dx = − +∫ .
5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei [ ]: 0,1g → ℝ ,
( ) ( )g x f x= .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4 3 8 6r a a= − = − = 3p
2= 2p
2. Valoarea minimă a funcției este 4a
∆
− = 2p
36 9
4
= − = − 3p
3. ( )22 3 1 3 2 1x x x+ = + ⇔ = + 3p
1x = , care verifică ecuația 2p
4. 2
7
7!
2! 5!
C = =
⋅ 3p
21= 2p
5. 1 2
3 1 0 2
y x− −
=
− − 3p
3y x= − + 2p
6. 8
2 1sin 2 2
AB R R
C = ⇒ = =
⋅ 3p
8= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 2
det 1 4 2 3
3 4
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
4 6 2= − = − 2p
b) ( ) ( )( )2 2
1 2 det 7 1
3 7
x
B x I B x I x
+ 
+ = ⇒ + = + 
  3p
7 1 8 1x x+ = ⇔ = 2p
c) ( ) 6 14
3 12 30
x
A B x x
+ 
⋅ =  
+  2p
( ) 6 2 8
21 30
x x
B x A + + 
⋅ =  
  2p
6 14 6 2 8 3
3 12 30 21 30
x x x x
x
+ + +   
= ⇔ =   
+    1p
2.a) ( ) ( ) ( )7 7 7 7 7 7 7 7 56− ∗ = − ⋅ − ⋅ − − ⋅ + = 3p
49 49 49 56 7= − + − + = 2p
b) 7 7 49 7x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )7 7 7 7 7 7 7x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) 7 7x ∗ = și 7 7y∗ = , pentru x și y numere reale 2p
( ) ( ) ( )1 2 3 2015 1 2 6 7 8 9 2015 7 8 9 2015 7∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ =⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )
1
1
lim ' 1
1x
f x f f
x→
− =
− 2p
( ) 1
' 1x
f x e x
= − + și ( ) ( ) ( )
1
1
' 1 lim 1x
f x f
f e e
x→
−
= ⇒ =
− 3p
b) ( )1 1f e= + , ( )' 1f e= 2p
Ecuaţia tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1 1y f f x y ex− = − ⇒ = + 3p
c) ( ) 2
1
'' x
f x e x
= + , ( )0,x ∈ +∞ 2p
( ) 0f x′′ > , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci f este convexă pe intervalul ( )0, +∞ 3p
2.a)
( ) ( )
1 1 2
0 0
11 1 02
x
dx x dx x
f x
 
= + = + =  
 
∫ ∫ 3p
1 3
1
2 2
= + = 2p
b)
( ) ( )
1 1 12 2
2
0 0 0
11
1 ln 1 01 1 2
x x
x f x dx dx x dx x x
x x
  
= = − + = − + + =    + +   
∫ ∫ ∫ 3p
1 1
1 ln 2 ln 2
2 2
= − + = − + 2p
c)
( ) ( )
1 1
2
2
0 0
11 1
011
V g x dx dx xx
π
π
π −
= = = ⋅ =
++
∫ ∫ 3p
1 1
2 2
π
π  
= − + = 
  2p