Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2015 – varianta 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )
2 2
5 1 5 1 12+ + − = .
5p 2. Calculați produsul ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f f f f , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 3f x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
2log 4 4 0x x− + = .
5p 4. Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele 2 , 3 și 4 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 2A și ( )2,3B . Determinați ecuația dreptei d
care trece prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta AB .
5p 6. Arătați că ( ) ( )sin sin 0x x
π
π− + + = , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 0
0 1 0
3 0 1
x
B x
x
 
 
=  
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 1B = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) 2 2
x y
B x B y B + 
+ =  
  , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinaţi numerele reale x pentru care ( ) ( ) ( )2 2
1 1B x B x B x x+ = + + .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )( )1 3 3 3
2
x y x y= − − + .
5p a) Arătați că ( )3 3 3− = .
5p b) Determinaţi numerele naturale n pentru care 11n n = .
5p c) Calculaţi 1 2 3 2015  …  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) 2
1
x
f x x
+
= − .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )2
3
'
1
f x
x
= −
−
, ( )1,x ∈ +∞ .
5p b) Arătați că funcția f este convexă pe intervalul ( )1, +∞ .
5p c) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției f , în care tangenta la graficul funcției
f este paralelă cu dreapta de ecuație 3y x= − .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) x
f x x e= .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
1
1 1f x dx e e
x = −∫ .
5p b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care ( )1 0F = .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul ( )
1
0
n
nI x f x dx= ∫ . Arătați că
( ) 11n nI n I e−+ + = , pentru orice număr natural n , 2n ≥ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2
5 1 6 2 5+ = + 2p
( ) ( ) ( )
2
5 1 6 2 5 6 2 5 6 2 5 12− = − ⇒ + + − = 3p
2. ( )3 0f = 3p
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 0f f f f = 2p
3. 2 2
4 4 1 4 3 0x x x x− + = ⇔ − + = 2p
1 1x = și 2 3x = , care verifică ecuația dată 3p
4. Cifra unităților este 3 2p
Numerele sunt 243 și 423, deci se pot forma două astfel de numere 3p
5. 1ABm = și 1 1d AB dm m m⋅ = − ⇒ = − 3p
Ecuația dreptei d este 3y x= − + 2p
6. ( )sin sinx x
π − = 2p
( ) ( ) ( )sin sin sin sin sin sin 0x x x x x x
π
π
π+ = − ⇒ − + + = − = , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 det 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
B B
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 3p
b)
( ) ( )
1 0 1 0 2 0
0 1 0 0 1 0 0 2 0
3 0 1 3 0 1 3 3 0 2
x y x y
B x B y
x y x y
+     
     
+ = + = =     
     +     
3p
1 0 2
2 0 1 0 2 2
3 0 1
2
x y
x y
B
x y
+ 
 
  + 
= =   
  +
 ⋅
 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c)
( ) ( )
( )
3 2
2
2 3
3 3 1 0 1
1 0 1 0
3 1 0 3 3 1
x x x x
B x B x
x x x x
 
+ + + + 
 + =  
 + + + +
 
, ( ) ( )
2
2
2
1 0 1
1 0 1 0
3 1 0 1
x x
B x x
x x
 
+ + 
 + + =  
 + +
 
3p
3
3 3 1 1 0x x x+ + = ⇔ = 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) ( )( )
1
3 3 3 3 3 3 3
2
− = − − − + =
 3p
0 3 3= + = 2p
b) ( )21 3 3
2
n n n= − +
 2p
( )2
13 16 1n n− = ⇔ = − , care nu convine, și 2 7n = , care convine 3p
c) 3 3x =
 și 3 3y =
 , pentru x și y numere reale 2p
( ) ( ) ( )1 2 3 2015 1 2 3 4 5 2015 3 4 5 2015 3= = =
 
 
… 
 
 
 
 
 
… 
 
 
 
… 
 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )
( )2
1 1 2 1
1
x x
f x
x
⋅ − − + ⋅
′ = =
− 3p
( ) ( )2 2
1 2 3
1 1
x x
x x
− − −
= = −
− −
, ( )1,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) ( )3
6
1
f x
x
′′ =
−
, ( )1,x ∈ +∞ 3p
( ) 0f x′′ > , pentru orice ( )1,x ∈ +∞ , deci funcția f este convexă pe intervalul ( )1, +∞ 2p
c) ( ) ( )2
' 3 1 1f x x= − ⇔ − = 3p
Cum ( )1,x ∈ +∞ , coordonatele punctului sunt 2x = și 4y = 2p
2.a)
( )
2 2
1 1
21
1
x x
f x dx e dx e
x = = =∫ ∫ 3p
( )2 1e e e e= − = − 2p
b) :F →ℝ ℝ , ( ) ( )1 x
F x x e c= − + , unde c ∈ ℝ 3p
( )1 0 0F c= ⇒ = , deci ( ) ( )1 x
F x x e= − 2p
c)
( ) ( )
1 1
1 1
0 0
1 1
0
n x n x n x
nI x e dx x e n x e dx+ +
= = − + =∫ ∫ 3p
( ) 11 ne n I −= − + , deci ( ) 11n nI n I e−+ + = , pentru orice număr natural n , 2n ≥ 2p