Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2015 – varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați rația progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1 1a = și 2 2015a = .
5p 2. Determinați valoarea maximă a funcției [ ]: 1,4f → ℝ , ( ) 1f x x= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
3 3log 8 log 9x x− = .
5p 4. Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii
{ }1, 2, 3, 4A = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,3A , ( )6,3B şi ( )4,0C . Determinaţi
coordonatele punctului D , știind că ABCD este paralelogram.
5p 6. Calculaţi lungimea laturii BC a triunghiului ABC în care 1AB = , 3
B
π
= și 6
C
π
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
, 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
 
 
=  
 
 
și ( )
1 1
0 1 2
0 0 1
a a
A a a
+ 
 
= + 
 
 
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 1A = .
5p b) Determinați numerele reale a , știind că ( ) ( )2 3 32A a A a I O− + = , unde ( ) ( ) ( )2
A a A a A a= .
5p c) Arătați că ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 6 100 50 51A A A A A+ + + + =… .
2. Se consideră polinomul 3 2
4 2f X X mX= − + + , unde m este număr real.
5p a) Arătaţi că ( )0 2f = .
5p b) Determinați numărul real m pentru care 1 2 3x x x= + , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile
polinomului f .
5p c) Pentru 8m = , arătați că polinomul f nu are toate rădăcinile reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 6 9x
f x e x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
' 4 3x
f x e x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi intervalele de monotonie a funcţiei f .
5p c) Demonstraţi că ( )2
3 4x
e x e− ≤ , pentru orice ( ], 3x ∈ −∞ .
2. Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul ( )
1 3
0
1 n
nI x dx= −∫ .
5p a) Arătați că 1
3
4
I = .
5p b) Arătați că 1n nI I+ ≤ , pentru orice număr natural nenul n .
5p c) Demonstrați că ( )
1
3 1
3 4
n n
n
I I
n
+
+
= + , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 1 2015 1r a a= − = − = 3p
2014= 2p
2. Valoarea maximă a funcției f este ( )4f = 3p
4 1 5= + = 2p
3. 2 2
8 9 8 9 0x x x x− = ⇔ − − = 3p
1 1x = − și 2 9x = , care verifică ecuația 2p
4. Prima cifră se poate alege în 4 moduri, a doua cifră se poate alege în câte 3 moduri 2p
Ultima cifră se poate alege, pentru fiecare mod de alegere a primelor două cifre, în câte 2
moduri, deci se pot forma 4 3 2 24⋅ ⋅ = de numere 3p
5. 1A C B D Dx x x x x+ = + ⇒ = 3p
0A C B D Dy y y y y+ = + ⇒ = 2p
6.
2
A
π
= 2p
2BC = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 1 2 1 1 2
1 0 1 3 det 1 0 1 3
0 0 1 0 0 1
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 3p
b)
( )
2
2
1 2 4 2
0 1 2 4
0 0 1
a a a
A a a
 + +
 
= + 
 
 
, ( )
2 2 2 2
2 0 2 2 4
0 0 2
a a
A a a
+ 
 
= + 
 
 
2p
( ) ( )
2
2 3
0 0 2
2 0 0 0
0 0 0
a a
A a A a I
 +
 
− + =  
 
 
1p
2
2 1
0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2 0 2
0 0 0 0 0 0
a a
a a a
 +  
   
= ⇔ + = ⇔ = −   
   
  
și 2 0a = 2p
c) ( ) ( ) ( )2 100 2 51A A A+ = , ( ) ( ) ( )4 98 2 51A A A+ = , ..., ( ) ( ) ( )50 52 2 51A A A+ = 3p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 6 100 25 2 51 50 51A A A A A A+ + + + = ⋅ =… 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) 3 2
0 0 4 0 0 2f m= − ⋅ + ⋅ + = 3p
2= 2p
b) 1 2 3 4x x x+ + = , 1 2 3 1 2x x x x= + ⇔ = 2p
( )2 0 2 6 0 3f m m= ⇔ − = ⇔ = 3p
c) 3 2
4 8 2f X X X= − + + , 1 2 3 4x x x+ + = și 1 2 1 3 2 3 8x x x x x x+ + = 2p
Cum ( ) ( )22 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32 16 16 0x x x x x x x x x x x x+ + = + + − + + = − = , dacă polinomul f
ar avea toate rădăcinile reale, am obține 1 2 3 0x x x= = = , contradicție cu ( )0 2f = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2
' 6 9 2 6x x
f x e x x e x= − + + − = 3p
( ) ( )2 2
6 9 2 6 4 3x x
e x x x e x x= − + + − = − + , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 1' 0 1f x x= ⇔ = şi 2 3x = 2p
( )' 0f x ≥ , pentru orice ( ],1x f∈ −∞ ⇒ este crescătoare pe ( ],1−∞ 1p
( )' 0f x ≤ , pentru orice [ ]1,3x f∈ ⇒ este descrescătoare pe [ ]1,3 1p
( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )3,x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ )3, +∞ 1p
c) ( ) ( )1f x f≤ , pentru orice ( ], 3x ∈ −∞ 3p
Cum ( )1 4f e= , obținem ( )2
3 4x
e x e− ≤ , pentru orice ( ], 3x ∈ −∞ 2p
2.a)
( )
1 4
3
1
0
1
1 04
x
I x dx x
 
= − = − =  
 
∫ 3p
1 3
1 4 4
= − = 2p
b)
( )( )
1 3 3
1
0
1 n
n nI I x x dx+ − = − −∫ , pentru orice număr natural nenul n 2p
Pentru orice număr natural nenul n și [ ]0,1x ∈ avem 3 0x− ≤ și ( )3 11 0
n
n nx I I+− ≥ ⇒ ≤ 3p
c)
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 11 13 3 3 2
1
0 0
1
' 1 1 1 1 3
0
n n n
nI x x dx x x x n x x dx
+ +
+ = − = − − + − − =∫ ∫ 2p
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1 1
3 3 3 3 1
0 0
3 1 1 3 1 1 1 1 3 1
n n
n nn x x dx n x x dx n I I+= + − = − + − − − = − + −∫ ∫ , deci
( )
1
3 1
3 4
n n
n
I I
n
+
+
= + , pentru orice număr natural nenul n
3p