Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2015 – varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi al treilea termen al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1 2a = și 2 5a = .
5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul ( )3,5A aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( )f x a x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 2 2
8 2x x− +
= .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 0.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul ( )1,1M . Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin
punctul M şi are panta egală cu 2.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 5AB = , 12AC = și 13BC = . Arătaţi că 5
sin 13
C = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 0 2
0 1 0
0 1 2
x x
A x
x x
− 
 
=  
 − + 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 2A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )A x A y A xy x y= + + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale x , știind că ( ) ( ) ( ) ( )7A x A x A x A= .
2. Se consideră polinomul 3 2
2f X X X m= + + + , unde m este număr real.
5p a) Arătaţi că ( )0f m= .
5p b) Pentru 1m = , arătați că 3 3 3
1 2 3 1 2 35x x x x x x+ + = , unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
5p c) Determinaţi numărul natural prim m , știind că polinomul f are o rădăcină întreagă.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x x= − + .
5p a) Arătaţi că ( ) 2
' 1
1
x
f x
x
= −
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f .
5p c) Arătaţi că derivata funcţiei f este descrescătoare pe ℝ .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) lnf x x= .
5p a) Arătaţi că
1
1 1
e
dx
x =∫ .
5p b) Calculați aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii
1x = și x e= .
5p c) Determinaţi numărul natural nenul n , ştiind că ( )( )
1
1 1
2015
e n
f x dx
x =∫ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 2 3r = − = 3p
3 5 3 8a = + = 2p
2. ( )3 5 3 5f a= ⇔ − = 3p
8a = 2p
3. ( )3 4 2 2
2 2 12 3 2 2
x x x x
− +
= ⇔ − = + 3p
2x = 2p
4. Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
Sunt 9 numere naturale de două cifre care au produsul cifrelor egal cu 0, deci sunt 9 cazuri
favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 9 1
nr. cazuri posibile 90 10
p = = = 2p
5. ( )2M My y x x− = − 2p
2 1y x= − 3p
6. 2 2 2
13 5 12= + , deci triunghiul ABC este dreptunghic în A 2p
5
sin 13
AB
C BC
= = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 0 2 0 0 2
1 0 1 0 det 1 0 1 0
1 0 3 1 0 3
A A
 
 
= ⇒ = = 
 − − 
2p
( )0 0 0 2 0 0 2= + + − − − − = 3p
b)
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
1 1 2 0 1 2 2 1 2
0 1 0
1 1 2 0 2 1 2 1 2
x y xy x y x y
A x A y
x y x y xy x y
 − − − − + + 
 
= = 
 − − − + − + + + 
3p
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 0 2
0 1 0
0 1 2
xy x y xy x y
A xy x y
xy x y xy x y
 − + + + + 
 = = + +
  − + + + + + 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )( )3
1 1A x A x A x A x= + − , pentru orice număr real x 3p
( )3
1 1 7 1x x+ − = ⇔ = 2p
2.a) ( ) 3 2
0 0 2 0 0f m= + ⋅ + + = 3p
0 0 0 m m= + + + = 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) 1 2 3 2x x x+ + = − , 1 2 1 3 2 3 1x x x x x x+ + = , 1 2 3 1x x x = − 3p
( ) ( ) ( )( ) ( )23 3 3 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32 3 2 2 2 1 2 3 5 5x x x x x x x x x x x x+ + = − + + − + + − = − − − ⋅ − − − = − = 2p
c) 1x ∈ ℤ și ( ) ( )2
1 1 10 1f x m x x= ⇔ = − + 2p
Deoarece m este prim, obținem ( )2
1 11 1 0x x+ = ⇔ = , care nu convine, sau 1 2x = − , pentru
care 2m = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )2
2
1
' 1 1 '
2 1
f x x
x
= − + =
+ 3p
2 2
2
1 1
2 1 1
x x
x x
= − = −
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b)
( ) ( ) ( )2 2
2
2 2
1 1
lim lim 1 lim lim 0
1 1x x x x
x x
f x x x
x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
− + −
= − + = = =
+ + + +
3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcţiei f 2p
c)
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2
2 2 2 2
1' 1 1 ' 11'' 1 1 1 1
x
xx x x x xf x x x x x
+ −+ − + += − = − = −
+ + + +
, x ∈ ℝ 3p
( )'' 0f x < , pentru orice număr real x , deci funcția f ' este descrescătoare pe ℝ 2p
2.a)
1
1 ln 1
e e
dx x
x = =∫ 3p
ln ln1 1e= − = 2p
b)
( )
1 1 1
1
ln ln 1
e e e
e
f x dx x dx x x x dx
x
= = = − ⋅ =∫ ∫ ∫
A 3p
1 1
1
e
e x e e= − = − + = 2p
c)
( )( ) 1
1 1
1 1 1 1
ln ln 11 1
e e
n n n e
f x dx x dx x
x x n n
+
= = =
+ +∫ ∫ 3p
1 1 2014
1 2015 n
n = ⇔ =
+ 2p