Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2015 – sesiunea specială, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 2 3z i= + și 2 1 3z i= − . Arătați că numărul 1 2z z+ este real.
5p 2. Calculați ( )( )1f g
 , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x x= − și :g →ℝ ℝ , ( ) 3g x x= .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 64 0x − = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie divizibil cu 7.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație 4 1y x= + și punctul ( )2,0A .
Determinați ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d .
5p 6. Arătaţi că ( ) ( )sin sin cos cos 1x x x x
π
π− − − = , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele
1 0 1
0 1 0
1 0 1
A
 
 =   
 
și ( )
0 0
0
0 0
x
B x x x
x
 
 =   
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 0A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )3A B x B x A B x⋅ + ⋅ = , pentru orice număr real x .
5p c) Determinaţi numerele reale x pentru care ( ) ( ) ( ) ( )2 2B x B x B x B x x⋅ ⋅ = + − .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 2f X X X m= − + + , unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( )0f m= .
5p b) Pentru 1m = − , demonstrați că ( )1 2 3 1 2 3
1 1 1 4x x x x x x
 
+ + + + = 
  , unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile
polinomului f .
5p c) Arătați că polinomul f nu are toate rădăcinile reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
1
1
x x
f x x x
− +
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
( )22
2 1 1
'
1
x x
f x
x x
− +
=
+ +
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Calculați ( )( )lim x
x
f x
→+∞
.
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2x
f x e x= − .
5p a) Arătați că ( )( )
1
0
2 1f x x dx e+ = −∫
5p b) Determinaţi primitiva F a funcției f pentru care ( )1 3F e= − .
5p c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ox a graficului funcției
[ ]: 0,1g → ℝ , ( ) ( )g x f x= , este egal cu ( )2
3 19
6 e
π − .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )1 2 2 3 1 3z z i i+ = + + − = 3p
3= , care este număr real 2p
2. ( )1 3g = 2p
( )( ) ( )( ) ( )1 1 3 2f g f g f= = =
 3p
3. 3
4 4x = 2p
3x = 3p
4. Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
Sunt 13 numere naturale de două cifre care sunt divizibile cu 7, deci sunt 13 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 13
nr. cazuri posibile 90
p = = 2p
5. Dreapta paralelă cu dreapta d are panta egală cu 4 2p
Ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d este 4 8y x= − 3p
6. ( ) ( ) ( )sin sin cos cos cosx x x x x x
π
π
π− − − = − − + = 3p
cos 1
π= − = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 0 1
det 0 1 0
1 0 1
A = = 2p
1 0 0 1 0 0 0= + + − − − = 3p
b)
( )
0 2 0
0
0 2 0
x
A B x x x
x
 
 
⋅ =  
 
 
, ( )
0 0
2 0 2
0 0
x
B x A x x
x
 
 
⋅ =  
 
 
2p
( ) ( ) ( )
0 3 0 0 0
3 0 3 3 0 3
0 3 0 0 0
x x
A B x B x A x x x x B x
x x
   
   
⋅ + ⋅ = = =   
   
   
, pentru orice număr real x 3p
c)
( ) ( ) ( )
3
3 3
3
0 2 0
2 0 2
0 2 0
x
B x B x B x x x
x
 
 
 =  
 
 
și ( )
2
2 2 2
2
0 2 0
2 2 0 2
0 2 0
x x
B x x x x x x
x x
 + −
 
 + − = + − + −
 
 + −
 
3p
3 2
2 2, 1x x x x x= + − ∈ ⇔ = −ℝ 2p
2.a) ( ) 3 2
0 0 2 0 2 0f m= − ⋅ + ⋅ + = 3p
0 0 0 m m= − + + = 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) 1 2 3 2x x x+ + = , 1 2 1 3 2 3 2x x x x x x+ + = , 1 2 3 1x x x = 3p
( ) ( )( )1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 2 4
1
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
+ + + +  ⋅
+ + + + = = = 
  2p
c) ( ) ( )22 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32 2 2 2 0x x x x x x x x x x x x+ + = + + − + + = − ⋅ = 2p
Dacă polinomul f ar avea toate rădăcinile reale, am obține 1 2 3 0x x x= = = , contradicție cu
1 2 3 2x x x+ + = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( ) ( )( )
( )
2 2
2
2
2 1 1 2 1 1
'
1
x x x x x x
f x
x x
− + + − + − +
= =
+ +
3p
( )
( )( )
( )
2
2 2
2 2
2 1 12 2
1 1
x xx
x x x x
− +−
= =
+ + + +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( )0 1f = , ( )' 0 2f = − 2p
Ecuaţia tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0 2 1y f f x y x− = − ⇒ = − + 3p
c)
( )( ) 2
2 2
1 2
lim lim lim 1
1 1
x x
x
x x x
x x x
f x x x x x→+∞ →+∞ →+∞
 − +  
= = − =    + + + +  
2p
2
2
2
lim 21x
x
x xe e→+∞
−
−+ += = 3p
2.a)
( )( )
1 1
0 0
2 x
f x x dx e dx+ = =∫ ∫ 2p
1 1
0
x
e e= = − 3p
b) :F →ℝ ℝ , ( ) 2x
F x e x c= − + , unde c ∈ ℝ 2p
( )1 3 2F e c= − ⇒ = − , deci ( ) 2 2x
F x e x= − − 3p
c)
( ) ( ) ( )
1 1 122 2 2
0 0 0
2 4 4x x x
V g x dx e x dx e xe x dx
π
π
π= = − = − + =∫ ∫ ∫ 2p
( ) ( )23
2 3 1911 4 1 4 02 3 6
x x ex
e x e
π
π − 
= − − + =  
 
3p