Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M4 Pedagogic 2015 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că
2
1 11 1
3 :
2 2 2
    
 − + − − =        
.
5p 2. Determinaţi coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 1 2
3 3
f x x= − + cu axa Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 2
2 4x x x− −
= .
5p 4. După o scumpire cu 10% un obiect costă 594 lei. Calculați prețul obiectului înainte de scumpire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 4D , ( )2, 2E − − şi ( )6, 2F − . Determinaţi
coordonatele mijlocului medianei din vârful D al triunghiului DEF .
5p 6. Calculați perimetrul triunghiului ABC dreptunghic în A , știind că 3
tg 4
B = și 9AC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 2 2 6x y xy x y= − − + .
5p 1. Calculaţi 4 2 .
5p 2. Verificaţi dacă legea de compoziţie „ ” este comutativă.
5p 3. Arătați că ( )( )2 2 2x y x y= − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p 4. Arătați că 2 2x = , pentru orice număr real x .
5p 5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 10x x x =  .
5p 6. Determinaţi perechile de numere întregi ( ),m n , știind că 3m n = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră mulţimea ( ) 1
2 1 2
x x
G A x x
x x
 −  
= = ∈  
− +   
ℝ .
5p 1. Arătați că matricea 1 0
0 1
 
 
 
aparține mulțimii G .
5p 2. Calculați ( )( )det 1A .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )2 0 0
2 0 0
A x A x  
− =  
 
.
5p 4. Determinați valorile reale ale lui x pentru care matricea ( )A x este inversabilă.
5p 5. Arătați că ( ) ( ) ( )A x A y A x y xy⋅ = + + , pentru orice numere reale x şi y .
5p 6. Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0A x A x A x A x A⋅ ⋅ ⋅ = .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2
1 1 11
3 3
2 4 4
 
− + − = − + = − 
  3p
11 11 1
:
4 2 2
 
− − = 
  2p
2. ( ) 1 2
0 0
3 3
f x x= ⇔ − + = 3p
2x = și 0y = 2p
3. 2 3 2 4 2
2 2 5 4 0x x x x x− −
= ⇔ − + = 3p
1 1x = şi 2 4x = 2p
4. 10% 594p p+ ⋅ = , unde p este prețul obiectului înainte de scumpire 2p
540p = de lei 3p
5. 2Mx = , 2My = − , unde punctul M este mijlocul segmentului EF 3p
2Nx = , 1Ny = , unde punctul N este mijlocul medianei DM 2p
6. 3
tg 12
4
B AB= ⇒ = 2p
15 36ABCBC P∆= ⇒ = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 4 2 4 2 2 4 2 2 6= ⋅ − ⋅ − ⋅ + =
 3p
2= 2p
2. 2 2 6y x yx y x= − − + =
 2p
2 2 6xy x y x y= − − + = 
 , pentru orice numere reale x și y 3p
3. 2 2 4 2x y xy x y= − − + + =
 2p
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
4. ( )( )2 2 2 2 2x x= − − + =
 3p
0 2 2= + = , pentru orice număr real x 2p
5. ( )3
2 2x x x x= − +
 
 2p
4x = 3p
6. ( )( )3 2 2 1m n m n= ⇔ − − =
 2p
Cum m și n sunt numere întregi, obținem perechile ( ) ( ), 1,1m n = şi ( ) ( ), 3, 3m n = 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Pentru 0x = , ( ) 1 0 0
0 2 0 1 2 0
A − 
= = 
− ⋅ + ⋅  3p
1 0
0 1 G
 
= ∈ 
  2p
2. ( ) ( )( )
0 1 0 1
1 det 1
2 3 2 3
A A
 
= ⇒ = = 
− −  2p
2= 3p
3.
( ) 2 2
2
2 2
1
2 1 2
x x
A x
x x
 −
 =  − + 
, ( ) 1 2 2
2 4 1 4
x x
A x x x
− 
=  
− + 
, ( ) ( ) 2 2
2
2 2
2 2
2
2 4 2 4
x x x x
A x A x
x x x x
 − + −
 − =  − + − 
3p
2 2
12 2
2 2 0 0 0
0 02 4 2 4
x x x x x
x x x x
 − + −  
  = ⇔ =    − + − 
şi 2 2x = 2p
4. ( )( ) 1
det 1
2 1 2
x x
A x x
x x
−
= = +
− + 3p
{ }1 0 \ 1x x+ ≠ ⇔ ∈ −ℝ 2p
5. ( ) ( ) 1
2 2 2 1 2 2 2
x y xy x y xy
A x A y x y xy x y xy
− − − + + 
⋅ = = 
− − − + + +  3p
( )
( ) ( ) ( )
1
2 1 2
x y xy x y xy A x y xy
x y xy x y xy
 − + + + +
= = + +  − + + + + + 
, pentru orice numere reale x şi y 2p
6. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 22 2
2 2 1 1 1 1A x A x A x A x A x x A x x A x A x⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ + = + − ⋅ + − =
( )( )4
1 1A x= + −
3p
( )4
11 1 0 2x x+ − = ⇒ = − şi 2 0x = 2p