Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2015 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1 1a = și 3 5a = .
5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor funcţiilor :f →ℝ ℝ , 2
( )f x x x= − și
:g →ℝ ℝ , ( ) 2 2g x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1
3 9
x− = .
5p 4. După o ieftinire cu 15% , prețul unui obiect este 34 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de
ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 4A , ( )3, 2B − şi ( )5,2C . Calculați lungimea
medianei din vârful A al triunghiului ABC .
5p 6. Arătați că 10tg 30 ctg 60 tg 60 ctg 30 3
° ° + ° ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3 6
1 2
A  
=  
  și 2
1 0
0 1
I  
=  
  .
5p a) Calculați det A .
5p b) Determinați numărul real x , știind că A A xA⋅ = .
5p c) Determinați numerele reale a pentru care ( )2det 0A aI+ = .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 2 2 2x y xy x y∗ = + + + .
5p a) Arătaţi că ( )( )2 2 2x y x y∗ = + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Calculați ( ) ( )2015 2 0 2 2015− ∗ − ∗ ∗ ∗ .
5p c) Determinați numerele naturale n , știind că numărul ( )n n∗ − este natural.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 2,f − +∞ → ℝ , ( ) 2
2
xf x x
−= + .
5p a) Calculaţi ( )'f x , ( )2,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Determinați ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
2. Se consideră funcţiile :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − și :F →ℝ ℝ , ( ) 2 1F x x x= − + .
5p a) Calculaţi ( )( )
1
0
1f x dx+∫ .
5p b) Arătați că funcția F este o primitivă a funcţiei f .
5p c) Determinați numărul natural nenul n , știind că ( ) 3
0 3
n n
F x dx =∫ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 3a = 3p
1 2 3 1 3 5 9a a a+ + = + + = 2p
2. 2 2
2 2 3 2 0x x x x x− = − ⇔ − + = 3p
1 1x = şi 2 2x = 2p
3. 2 2
3 3 2 2x x− −
= ⇔ − = − 3p
4x = 2p
4. 15% 34p p− ⋅ = , unde p este prețul obiectului înainte de ieftinire 2p
40p = de lei 3p
5. 1Mx = , 2My = , unde punctul M este mijlocul laturii BC 2p
2AM = 3p
6. 1 1tg30 ctg 60 tg 60 ctg 30 3 3
3 3
° ° + ° ° = ⋅ + ⋅ = 3p
1 10
3
3 3
= + = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 3 6
det 3 2 6 1
1 2
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
0= 2p
b) 15 30
5 10
A A  
⋅ = = 
  3p
3 6
5 5
1 2 A
 
= = 
 
, de unde obținem 5x = 2p
c) ( ) ( )( ) 2
2
3 6
det 3 2 6 5
1 2
a
A aI a a a a
a
+
+ = = + + − = +
+ 3p
2 15 0 5a a a+ = ⇔ = − şi 2 0a = 2p
2.a) 2 2 4 2x y xy x y∗ = + + + − = 2p
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
b) ( )2 2x ∗ − = − şi ( )2 2y− ∗ = − , pentru x și y numere reale 3p
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2015 2 0 2 2015 2015 2 0 2 2015 2 0 2 2015 2− ∗ − ∗ ∗ ∗ = − ∗ − ∗ ∗ ∗ = − ∗ ∗ ∗ = − 2p
c) ( ) ( )( ) 2
2 2 2 2n n n n n∗ − = + − + − = − 2p
2 12 0n n− ∈ ⇒ =ℕ şi 2 1n = 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )
( )2
1 2 2 1
'
2
x x
f x
x
⋅ + − − ⋅
= =
+ 3p
( )2
4
2x
=
+
, ( )2,x ∈ − +∞ 2p
b) ( )0 1f = − , ( )0 1f ′ = 3p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 0 0 1y f f x y x′− = − ⇒ = − 2p
c) 2lim 1
2x
x
x→+∞
− =
+ 3p
Dreapta 1y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcţiei f 2p
2.a)
( )( )
1 1 2
0 0
1
1 2 0
f x dx xdx x+ = = =∫ ∫ 2p
1 0 1= − = 3p
b) ( ) ( )2 1 2 1F x x x x
′
′ = − + = − = 3p
( )f x= , pentru orice număr real x , deci F este o primitivă a funcţiei f 2p
c)
( ) ( ) 3 2 3 2
2
0 0
1 03 2 3 2
n n nx x n n
F x dx x x dx x n
 
= − + = − + = − +  
 
∫ ∫ 2p
3 2 3 2 2 0
3 2 3
n n n
n n n− + = ⇔ − = și cum n este număr natural nenul, obținem 2n = 3p