Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2015 – clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculaţi media aritmetică a numerelor 3a = şi 25b = .
5p 2. Calculați ( )( )2f g −
 , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 3 4f x x= − şi :g →ℝ ℝ , ( ) 2 5g x x= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2
2 4 2 3x + = .
5p 4. Determinaţi numărul elementelor care sunt divizibile cu 5 şi nu sunt divizibile cu 10, din mulţimea
{1, 2,3,...,50}M = .
5p 5. Determinaţi numărul real m , știind că punctul ( )3, 1A m − este situat pe dreapta de ecuație
3 0x y+ − = .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 5AB = , 5AC = și 6BC = . Calculați cos B .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( )
2 1 1
1 1
2 3
D m m
m
−
= − , unde m este număr real.
5p a) Calculați ( )0D .
5p b) Arătați că ( ) ( )( )2 3D m m m= + + , pentru orice număr real m .
5p c) Determinaţi numerele naturale n pentru care ( )2 3 0D n n− = .
2. Se consideră matricea ( ) 1 1
3
A a a
− 
=  
  , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )1 1 2 0A A A− + = .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( ) 2
3 1 5
2 1
A a I
 
⋅ = −  , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
  .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M , știind că ( ) ( )1 4 2A X A⋅ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 2,f +∞ → ℝ , ( ) 4
2
f x x x
= + − .
5p a) Calculaţi ( )
3
lim
x
f x
→ .
5p b) Determinaţi ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcţiei f .
5p c) Calculați ( ) ( )( )2
lim 2
x
x f x
→
− .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 1, 1
1, 1
x x x
f x x x
 + − ≤
=  + >
.
5p a) Calculați ( ) ( )0 2f f+ .
5p b) Arătați că funcția f este continuă în 1x = .
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația ( ) 0f x ≤ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 25 5= 2p
3 5 4
2
am +
= = 3p
2. ( )2 1g − = 2p
( )( ) ( )2 1 1f g f− = = −
 3p
3. 2
2 4 12x + = 2p
1 2x = − şi 2 2x = , care verifică ecuaţia 3p
4. Numerele cerute sunt 5, 15, 25, 35 şi 45 3p
Sunt 5 numere care sunt divizibile cu 5 și nu sunt divizibile cu 10 2p
5. ( )3 1 3 0m+ − − = 3p
1m = 2p
6. 2 2 2
5 6 5
cos 2 5 6
B + −
= =
⋅ ⋅ 3p
3
5
= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
2 1 1
0 0 1 1
2 3 0
D
−
= − = 2p
0 0 2 2 6 0 6= + + − + − = 3p
b)
( ) 2
2 1 1
1 1 2 3 6
2 3
D m m m m m
m
−
= − = + + + = 3p
( ) ( ) ( )( )2 3 2 2 3m m m m m= + + + = + + , pentru orice număr real m 2p
c) ( )( )2 2
3 2 3 3 0n n n n− + − + = 3p
1 1n = şi 2 2n = 2p
2.a) ( ) 1 1
1 1 3
A − 
− =  −  , ( ) 1 1
1 1 3
A − 
=  
  , ( ) 1 1
0 0 3
A − 
=  
  3p
( ) ( ) ( )
2 2 1 1
1 1 2 2 0
0 6 0 3
A A A
− −   
− + = = =   
    2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) ( ) 3 1 5 0
2 1 3 6 3
A a a a
   
⋅ =   − − +    3p
5 0 5 0 2
3 6 3 0 5 a
a a
   
= ⇔ =   
− +    2p
c) ( )( ) ( )( ) 1 3 11
det 1 4 0 1 1 14
A A −  
= ≠ ⇒ =  
−  3p
3 1 1 1 5 01
4 1 1 2 3 1 44
X X
−    
= ⋅ ⇒ =    
−     2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
3
4
lim 3 4
2x
x x→
 
+ = + = 
−  3p
7= 2p
b) ( )
( )
4
lim lim 1 1
2x x
f x
x x x→+∞ →+∞
 
= + =  − 
2p
( )( ) 4
lim lim 0
2x x
f x x x→+∞ →+∞
− = =
− , deci dreapta de ecuație y x= este asimptotă oblică spre
+∞ la graficul funcției f
3p
c)
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2 44
lim 2 lim
2 2x x
x x x
x x x x→ →
− − +  
− + = =  
− −  
3p
4= 2p
2.a) ( ) ( )0 2 1 3f f+ = − + = 3p
2= 2p
b) ( ) ( )2
1 1
1 1
lim lim 2 1 2
x x
x x
f x x x
→ →
< <
= + − = 2p
( ) ( )
1 1
1 1
lim lim 1 2
x x
x x
f x x
→ →
> >
= + = 2p
Cum ( )1 2f = , obținem ( ) ( )
1
lim 1
x
f x f
→
= , deci funcția f este continuă în punctul 1x = 1p
c) Dacă ( )1,x ∈ +∞ , atunci ( ) 1f x x= + și 1 0x + ≤ nu are soluții în intervalul ( )1, +∞ 2p
Dacă ( ], 1x ∈ −∞ , atunci ( ) 2
2 1f x x x= + − și 2 1
2 1 0 1, 2
x x x  
+ − ≤ ⇔ ∈ − 
  3p