Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2015 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul real care are partea întreagă 2− și partea fracționară 0,75 .
5p 2. Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 4 4
3
f x x= − +
cu axa Ox și, respectiv, cu axa Oy .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2 10
1 81
3
x+
= .
5p 4. Determinați numărul natural n pentru care 0 1 2 64n
n n n nC C C C+ + + + =… .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1M − , ( )3,1N și ( )3,5P . Arătați că triunghiul
MNP este isoscel.
5p 6. Calculați raza cercului înscris în triunghiul ABC , știind că 6AB = , 8AC = și 10BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ),
x a a
A x a a x a
a a x
 
 
= − 
 − − 
, unde x și a sunt numere reale.
5p a) Calculați ( )( )det 2,0A .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( ), , 2 1,0A x a A x a x A+ − = , pentru orice numere reale x și a .
5p c) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuația ( )( )det , 3 0A x − = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 3 3 3 2x y xy x y= + + + .
5p a) Arătați că ( )( )3 1 1 1x y x y= + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinați numerele întregi a și b , știind că 2a b = .
5p c) Calculaţi ( )1 0 1 ... 2015−     .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 1x x
f x xe e= − + .
5p a) Calculați ( )f x′ , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f .
5p c) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2
4 3 2 1f x x x x= + + + .
5p a) Calculați ( )
1
0
f x dx∫ .
5p b) Determinați primitiva F a funcției f pentru care ( )1 1F − = .
5p c) Arătați că pentru orice număr real nenul a are loc relația ( ) ( )
0 4
0
1 1
a
a
f x dx f x dx a
a
+ = −∫ ∫ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 0,75− + = 3p
1, 25= − 2p
2. Punctele de intersecție cu axele de coordonate sunt ( )3,0A și, respectiv, ( )0, 4B 2p
Distanța AB este egală cu 5 3p
3. ( )2 101 4
3 3 2 10 4
x
x
+− = ⇔ − − = 3p
7x = − 2p
4. 0 1 2 2n n
n n n nC C C C+ + + + =… 3p
2 64 6n n= ⇔ = 2p
5. 4MN = 2p
4NP MNP= ⇒ ∆ este isoscel 3p
6. 24ABC∆ =
A 2p
12p = , deci 2r = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( )
2 0 0
det 2,0 0 2 0
0 0 2
A = = 3p
8= 2p
b)
( ) ( )
2 0 0
, , 0 2 0
0 0 2
x a a x a a x
A x a A x a a x a a x a x
a a x a a x x
− −     
     
+ − = − + − = =     
     − −     
2p
( )
1 0 0
2 0 1 0 2 1,0
0 0 1
x x A
 
 
= ⋅ = 
 
 
, pentru orice numere reale x și a 3p
c)
( )( ) 3
3 3
det , 3 3 3 27
3 3
x
A x x x x
x
− −
− = − = + 3p
( )2 27 0 0x x x+ = ⇔ = 2p
2.a) 3 3 3 3 1x y xy x y= + + + − = 2p
( ) ( ) ( )( )3 1 3 1 1 3 1 1 1x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
b) ( )( )2 1 1 1a b a b= ⇔ + + = 2p
Cum a și b sunt numere întregi, obținem 2, 2a b= − = − sau 0, 0a b= = 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) ( )1 1x− = − , unde x este număr real 2p
( ) ( ) ( )1 0 1 ... 2015 1 0 1 ... 2015 1− = − = −        3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) x x x
f x e xe e′ = + − = 3p
x
xe= , x ∈ ℝ 2p
b) ( )lim lim 1 lim 1 1x
x xx x x
x x
f x e
e e− −→−∞ →−∞ →−∞
 
= − + = + = 
  3p
Dreapta 1y = este asimptotă orizontală spre −∞ la graficul funcției f 2p
c) ( )' 0 0f x x= ⇔ = 1p
( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ],0x ∈ −∞ , deci f este descrescătoare pe ( ],0−∞ 2p
( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ , deci f este crescătoare pe [ )0,+∞ 2p
2.a)
( ) ( )
1 3 2 4 3 2
0
1
4 3 2 1 0
x x x dx x x x x+ + + = + + + =∫ 3p
4= 2p
b) :F →ℝ ℝ , ( ) 4 3 2
F x x x x x c= + + + + , unde c ∈ ℝ 2p
( )1 1 1F c− = ⇒ = , deci ( ) 4 3 2 1F x x x x x= + + + + 3p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
3 2 3 2
0 0
1 1
4 3 2 1 4 3 2 1
a a
a a
f x dx f x dx x x x dx x x x dx
a a
+ = + + + + + + + =∫ ∫ ∫ ∫ 2p
( ) ( )4 3 2 4 3 2 41 1a a a a a a a a a
a
= + + + − + + + = − , pentru orice număr real nenul a 3p