Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2015 – clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați 2015a , știind că ( ) 1n n
a ≥ este progresie aritmetică cu 1 2015a = și 1r = − .
5p 2. Determinaţi numărul real m , știind că punctul ( )2, 3A − aparţine graficului funcţiei :f →ℝ ℝ ,
( ) ( )2 2 1 3f x x m x= − + + .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 1 2x x+ − − = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând una dintre submulțimile cu 2 elemente ale mulțimii
{ }1, 2, 3,..., 9 , aceasta să fie formată doar din pătrate perfecte.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )5, 2A − şi ( )1, 2C . Determinaţi coordonatele
punctului B , ştiind că patrulaterul OABC este paralelogram.
5p 6. Se consideră dreptunghiul ABCD cu 3 3AB = și 6BD = . Calculaţi aria triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( ) 2
1 4
2 1 7
1 2
x
D x x x
x
= − −
−
, unde x este număr real.
5p a) Calculați ( )1D .
5p b) Arătaţi că ( ) ( )( )( )1 1 2D x x x x= − − + + , pentru orice număr real x .
5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2 3 0x
D − = .
2. Se consideră matricea ( ) 1 3 6
1 2
a a
X a a a
+ − 
=  −  , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )1 1 2 0X X X− + = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )X a X b X a b ab⋅ = + + , pentru orice numere reale a și b .
5p c) Determinaţi valorile reale ale lui a pentru care matricea ( )X a este inversabilă.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) 2
1
x
f x x
= − .
5p a) Arătați că dreapta de ecuație 1x = este asimptotă verticală la graficul funcției f .
5p b) Calculați ( )
2
4
lim 2x
f x
x→
−
− .
5p c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )
1
3
3, 1
2 3 4, 1
x
e x
f x x a x x
+ − ≤ −
=  + − − > −
, unde a este număr real.
5p a) Determinaţi numărul real a pentru care funcţia f este continuă în 1x = − .
5p b) Arătaţi că ( ) 2 0f x + ≤ , pentru orice 1x ≤ − .
5p c) Pentru 1a = − , arătaţi că ecuația ( ) 0f x = are cel puţin o soluţie în intervalul [ ]0,2 .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2015 2015 2014 1a = + ⋅ − = 3p
1= 2p
2. ( )2 3 4 5 3f m= − ⇔ − + = − 3p
2m = 2p
3. 2
1 2 1 1 1 2 1 1x x x x x x+ − + ⋅ − + − = ⇔ − = − 3p
1x = , care verifică ecuația 2p
4. Sunt 3 pătrate perfecte în mulțime, deci sunt 2
3 3C = cazuri favorabile 2p
Sunt 2
9 36C = de cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 3 1
nr. cazuri posibile 36 12
p = = = 2p
5. Diagonalele paralelogramului OABC se înjumătățesc, deci 6A C O B Bx x x x x+ = + ⇒ = 3p
0A C O B By y y y y+ = + ⇒ = 2p
6. 3AD = 2p
3 3 3 9 3
2 2
ABC∆
⋅
= =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
1 1 4
1 2 0 6
1 2 1
D = =
−
2p
0 16 6 0 2 12 0= − + − − + = 3p
b)
( ) ( )( )
2
1 4 1 4
0 1 1 1 2 0 1 1
0 1 20 2 4
x x
D x x x x x
xx x
= − − − − = − + + =
− −− − −
3p
( )( ) ( )( )( )
1 1
1 2 1 1 2
1 2
x x x x x
x
= − + + = − − + +
− − , pentru orice număr real x 2p
c) ( )( )( )2 4 2 2 2 1 0x x x
− − − = 2p
1 0x = , 2 1x = şi 3 2x = 3p
2.a) ( ) 2 6
1 1 3
X − 
− =  −  , ( ) 4 6
1 1 1
X − 
=  −  , ( ) 1 0
0 0 1
X  
=  
  3p
( ) ( ) ( )
2 0
1 1 2 0
0 2
X X X
 
− + = = 
  2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) ( ) ( ) 1 3 6 1 3 6 1 3 3 3 6 6 6
1 2 1 2 1 2 2 2
a a b b a b ab a b ab
X a X b a a b b a b ab a b ab
+ − + − + + + − − −     
⋅ = ⋅ = =     
− − + + − − −      3p
( ) ( )
( ) ( )
1 3 6
1 2
a b ab a b ab X a b ab
a b ab a b ab
 + + + − + +
= = + +  + + − + + 
, pentru orice numere reale a și b 2p
c) ( )( )det 1X a a= + 2p
( )( )det 0 1X a a= ⇔ = − , deci matricea ( )X a este inversabilă pentru { }\ 1a ∈ −ℝ 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 2
1 1
1
lim lim 1x x
x
x
f x x→ →
>
= =
− 2p
= +∞ , deci dreapta de ecuație 1x = este asimptotă verticală la graficul funcției f 3p
b) ( )
( )( )
2
2 2
4 4 4
lim lim
2 1 2x x
f x x x
x x x→ →
− − +
= =
− − − 2p
( )
( )( )
2
2 2
2 2
lim lim 0
1 2 1x x
x x
x x x→ →
− −
= = =
− − − 3p
c) ( )lim 1
x
f x
x→+∞
= 2p
( )( )lim 1
x
f x x
→+∞
− = , deci dreapta de ecuaţie 1y x= + este asimptotă oblică spre +∞ la
graficul funcției f 3p
2.a) f este continuă în ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
1 lim lim 1
x x
x x
x f x f x f
→− →−
<− >−
= − ⇔ = = − 2p
2 2 3 4 1a a− = − − + − ⇔ = − 3p
b) 1 0
1 1 0 x
x x e e+
≤ − ⇒ + ≤ ⇒ ≤ 2p
( ) ( )1 3 1 3 2 2 0x
e f x f x+ − ≤ − ⇒ ≤ − ⇒ + ≤ , pentru orice 1x ≤ − 3p
c) ( ) 3
2 4 4f x x x= − − , ( )0 4f = − și ( )2 4f = 3p
Cum f este continuă pe [ ]0,2 și ( ) ( )0 2 0f f⋅ < , ecuația ( ) 0f x = are cel puțin o soluție în
intervalul [ ]0,2 2p