Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2015 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați partea reală a numărului complex 3 2
2 3
i
z i
+
= − .
5p 2. Determinaţi numărul real a , știind că funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
f x x x a= + − are graficul tangent
axei Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2
2 3 4 16 0x x
+ ⋅ − = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând una dintre submulțimile cu două elemente ale mulțimii
{ }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7A = , aceasta să aibă un singur element număr par.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,3M și ( )4,1N . Determinați ecuația
mediatoarei segmentului MN .
5p 6. Arătați că ( )( ) ( )( )2 2
sin sin cos cos 2 4x x x x
π
π+ − + + − = , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 =  
 
și ( ) 0 0 1
0 0
0 1 0
A x x
− 
 =  − 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )1 1 2 0A A A+ − = .
5p b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )( )3det 0A x I+ = .
5p c) Arătați că ( ) ( ) ( )( )3det 1 1 1 0aI bA cA A− − + − ⋅ − ≥ , pentru orice numere reale pozitive a , b și c .
2. Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă şi cu element neutru
5 5 30x y xy x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că ( )( )5 5 5x y x y∗ = − − + , pentru orice numere întregi x și y .
5p b) Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție „ ”∗ .
5p c) Calculaţi 1 2 8d d d∗ ∗ ∗⋯ , unde 1 2 8, , ,d d d… sunt divizorii naturali ai lui 2015 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) ( )ln 1f x x x= − + .
5p a) Calculați ( )'f x , ( )1,x ∈ − +∞ .
5p b) Calculați ( )
1
ln 2
lim 1x
x f x
x→
− −
− .
5p c) Demonstrați că ( )ln 1x x+ ≤ , pentru orice ( )1,x ∈ − +∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1
x
f x x
= + .
5p a) Calculați ( )
1
0
f x dx∫ .
5p b) Arătați că ( ) ( )1 2
4
0 81
f x x f x dx
x
π+ =
+
∫ .
5p c) Calculați ( )
1 1
1
lim 1
x
x f t dt
x→ − ∫ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( )2 3 3 2 13
4 9 13
i i i
z i
+ +
= = =
+ 3p
Partea reală a numărului z este egală cu 0 2p
2. 1 4a∆ = + 2p
1
1 4 0 4
a a+ = ⇔ = − 3p
3. 4 3 4 16 0 4 4 16x x x
+ ⋅ − = ⇔ ⋅ = 3p
1x = 2p
4. Sunt 1 1
3 4 12C C⋅ = cazuri favorabile 2p
Sunt 2
7 21C = de cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 12 4
nr. cazuri posibile 21 7
p = = = 2p
5. Mediatoarea d trece prin punctul ( )3, 2P , care este mijlocul segmentului MN 2p
1 1MN dm m= − ⇒ = 1p
Ecuația dreptei d este 1y x= − 2p
6. ( )sin sinx x
π − = , ( )cos 2 cosx x
π − = 2p
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2sin 2cos 4 sin cos 4x x x x+ = + = , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
0 0 1 0 0 1 0 0 2
1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 2 0
A A
− − −     
     + − = + − = =
     
     − − −     
3p
( )
0 0 1
2 0 0 0 2 0
0 1 0
A
− 
 = =
 
 − 
2p
b)
( ) ( )( )3 3
1 0 1 1 0 1
1 0 det 1 0 1
0 1 1 0 1 1
A x I x A x I x x
− − 
 + = ⇒ + = = +
 
 − − 
3p
1 0 1x x+ = ⇔ = − 2p
c)
( ) ( ) ( )3
0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
a b c a c b
aI bA cA A a b c b a c
a b c c b a
−       
       − − + − ⋅ − = − − + =
       −       
2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2 2
3det 1 1 1
a c b
aI bA cA A b a c a b c a b c ab bc ca
c b a
− − + − ⋅ − = = + + + + − − − = 1p
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 21 0
2 a b c a b b c c a= + + − + − + − ≥ , pentru orice numere reale pozitive ,a b și c . 2p
2.a) 5 5 25 5x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )5 5 5 5 5 5 5x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere întregi x și y 3p
b) Elementul neutru al legii de compoziție „ ”∗ este 6 1p
x este simetrizabil dacă există 'x ∈ ℤ astfel încât ' ' 6x x x x∗ = ∗ = , de unde 1
' 5 5
x x
= + − 2p
Cum 'x este număr întreg, obținem 4x = sau 6x = 2p
c) 5 5x ∗ = şi 5 5y∗ = , pentru x și y numere întregi 2p
5 este divizor al lui 2015 1p
2015 are 8 divizori naturali și legea de compoziție este asociativă, avem 1 2 8 5d d d∗ ∗ ∗ =⋯ 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )' ' ln 1 'f x x x= − + = 2p
1
1 1x
= − + , ( )1,x ∈ − +∞ 3p
b) ( ) ( )
1 1
ln 2 ln 1 ln 2
lim lim
1 1x x
x f x x
x x→ →
− − + −
= =
− − 2p
1
2
= 3p
c) ( )' 0 0f = , ( )' 0f x < , pentru orice ( )1,0x ∈ − și ( )' 0f x > , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 3p
( ) ( ) ( )0 ln 1f x f x x≥ ⇒ + ≤ , pentru orice ( )1,x ∈ − +∞ 2p
2.a)
( ) ( )
1 1 2
2
0 0
11 ln 1 021
x
f x dx dx x
x
= = + =
+
∫ ∫ 3p
1 ln 2
2
= 2p
b) ( ) ( )1 12
4 4
0 01 1
f x x f x x
dx dx
x x
+ = =
+ +
∫ ∫ 2p
( )2 11 arctg 02 8
x
π
= = 3p
c)
Din regula lui l`Hospital pentru cazul 0
0 , limita cerută este egală cu ( )
'
1 1
lim
x
x
f t dt
→
 
  =
 
 
∫ 3p
( )
1
1
lim 2x f x
→
= = 2p