Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2015 – clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul real x pentru care numerele 5 , 2 3+x , 2 7+x sunt termeni consecutivi ai
unei progresii aritmetice.
5p 2. Arătați că, pentru orice număr real m , graficul funcției :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 1f x x m x m= + − −
intersectează axa Ox .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 2 1x x− = − .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea { }1, 2,3, 4,5 , acesta să verifice relaţia
( )1
5 1 !− > +n n .
5p 5. Determinaţi numerele reale a și b , ştiind că, în reperul cartezian xOy , punctul de intersecție a
dreptelor ( )2 1 4 0x a y+ + − = și 3 8 0x by+ − = este ( ), 2M a − .
5p 6. Arătați că sin 2 tg
1 cos 2
x x
x =
+ , pentru orice număr real 0, 2
x
π 
∈ 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( )
1
1
1
, 1
1
1 2
2
x x
D x y y y
= , unde x şi y sunt numere reale nenule.
5p a) Arătaţi că 1
2, 0
2
D   = 
  .
5p b) Arătaţi că ( ) ( )( )( )
1
, 2 1 2 1
2
D x y x y x y
xy
= − − − − , pentru orice numere reale nenule x şi y .
5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2log , 2 0D x = .
2. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 =  
 
şi ( )
1 2
1 2
2 1
a
A a a
a
 
 =  
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )2 1 1 3A A A− − = .
5p b) Determinaţi numerele reale a şi b pentru care ( ) ( )( ) ( )( )3 3 32 1 1A a bI A I A I+ = − − .
5p c) Arătaţi că matricea ( )A n este inversabilă pentru orice număr natural n .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1
ln x
f x x
+
= și şirul de numere reale ( ) 1n n
a ≥ ,
( ) ( ) ( )1 2 ...na f f f n= + + + .
5p a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p b) Arătați că șirul ( ) 1n n
a ≥ este crescător.
5p c) Calculați ( )( )lim 2 1 lnn
n
n a n
→ +∞
+ − .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2
2 1, 1
, 1
x a x
f x x a x x
+ + ≤
=  + >
, unde a este număr real.
5p a) Determinați numerele reale a pentru care funcția f este continuă în 1x = .
5p b) Pentru 2a = , calculați ( ) ( )( )lim
x
f x f x x
→+∞
− + .
5p c) Pentru 1a = − , arătați că ecuația ( ) 2 0x
f x + = are cel puțin o soluție în intervalul [ ]1,0− .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )2 2 3 5 2 7+ = + +x x 2p
3=x 3p
2. ( )2
1 4m m∆ = − + = 2p
( )2
1 0m= + ≥ , deci, pentru orice număr real m , graficul funcției f intersectează axa Ox 3p
3. ( )2 2
2 2 1 4 3 1 0x x x x− = − ⇔ − − = 2p
1
1
4
x = − , care nu verifică ecuația, și 2 1x = , care verifică ecuația 3p
4. Elementele mulțimii { }1, 2,3, 4,5 care verifică relaţia ( )1
5 1 !− > +n n sunt 3 și 4, deci sunt 2
cazuri favorabile 2p
Mulțimea { }1, 2,3, 4,5 are 5 elemente, deci sunt 5 cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 2
nr. cazuri posibile 5
p = = 2p
5. ( ) ( )2 1 2 4 0 2a a a+ + ⋅ − − = ⇔ = − 3p
( ) ( )3 2 2 8 0 7b b⋅ − + ⋅ − − = ⇔ = − 2p
6. sin 2 2sin cosx x x= 2p
2
2
2sin cos sin
1 cos 2 2cos tg
cos2cos
x x x
x x x
xx
+ = ⇒ = = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1
1 2 2
1 1
2, 1 2
2 2
1
1 2
2
D   = = 
  2p
0= , deoarece determinantul are două linii egale 3p
b)
( )
1 1
0 2
2
1 1
, 0 2
2
1
1 2
2
x x
D x y y y
− −
= − − = 2p
( )( )( )1 1 1 1 1
2 2 2 1 2 1
2 2 2
x y x y x y
y x xy
     = − − − − − = − − − −     
      3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c) ( )( )( )2 22log 1 2 2 1 log 2 0x x− ⋅ − − = 3p
2x = sau 4x = , care verifică ecuația 2p
2.a)
( )
1 2 1
1 1 1 2
2 1 1
A
 
 =  
 
 
, ( )
1 2 1
1 1 1 2
2 1 1
A
− 
 − = −
 
 − 
2p
( ) ( ) ( )
1 2 3
2 1 1 3 1 2 3
2 3 1
A A A
 
 − − = =
 
 
 
3p
b)
( ) 2
1 2
1 2
2 1
b a
A a bI a b
a b
+ 
 + = +
 
 + 
, ( ) 3
0 2 1
1 1 0 2
2 1 0
A I
 
 − =  
 
 
, ( )( ) ( )( )3 3
4 1 4
1 1 4 4 1
1 4 4
A I A I
 
 − − =  
 
 
3p
1 2 8 2 8
1 2 8 8 2 8
2 1 2 8 8
b a
a b a
a b
+   
   + = ⇔ =
   
   +   
, 7b = 2p
c)
( )( ) ( )( )2
1 2
det 1 2 3 3 3
2 1
n
A n n n n n
n
= = + − + 3p
Ecuaţia ( )( )det 0A n = nu are soluţii în mulţimea numerelor naturale, deci matricea ( )A n
este inversabilă pentru orice număr natural n 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) 1
lim ln 0
x
x
x→+∞
+ = 3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
b) ( )1 1n na a f n+ − = + = 2p
1
ln 1 0
1n
 
= + > 
+  , pentru orice număr natural nenul n , deci șirul ( ) 1n n
a ≥ este crescător 3p
c) ( )
2 3 1 2 3 1
ln ln ... ln ln ... ln 1
1 2 1 2
n
n n
a n
n n
+ + 
= + + + = ⋅ ⋅ ⋅ = + 
  2p
( ) ( )( )
2 1
2 1 21 1
lim 2 1 ln 1 ln lim ln lim ln 1 ln 2
n
n n n
n n n
n
n n n e
n n
+
+
→+∞ →+∞ →+∞
 +   
 + + − = = + = =        
3p
2.a) f este continuă în ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
1 lim lim 1
x x
x x
x f x f x f
→ →
< >
= ⇒ = = 2p
2 2 13 1 2 0 1a a a a a+ = + ⇔ − − = ⇔ = − și 2 2a = 3p
b) ( )2 2
lim 4 4
x
x x x x x
→+∞
+ − + + = 2p
2 2
1
lim 24 5x
x
x x x x→+∞
−
= = −
+ + + 3p
c) [ ]: 1,0g − → ℝ , ( ) ( ) 2 2 2x x
g x f x x= + = + 2p
Cum g este continuă pe [ ]1,0− , ( ) 3
1 0
2
g − = − < și ( )0 1 0g = > , ecuația ( ) 2 0x
f x + = are
cel puțin o soluție în intervalul [ ]1,0−
3p