Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M3 Tehnologic 2015

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați media aritmetică a numerelor ( )2 5 5a = − și 2 5b = .
5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4 3f x x x= − +
cu axa Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )5 5log 2 1 log 3 0x − − = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să
fie multiplu de 3.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 4A şi ( )6, 4B . Determinaţi coordonatele
mijlocului segmentului AB .
5p 6. Arătați că ( ) 63
sin 65
a b+ = , știind că , 0, 2
a b
π 
∈ 
  , 3
sin 5
a = și 12
sin 13
b = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 2 2
1 1
A − 
=  
− 
.
5p a) Calculaţi det A .
5p b) Determinaţi numerele reale p pentru care A A pA⋅ = .
5p c) Determinaţi matricele 0
0
b
B b
 
=  
 
, ştiind că ( )det 0A B+ = , unde b este un număr real.
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie dată de x y xy x y= − + + .
5p a) Calculaţi 1 2015 .
5p b) Arătaţi că ( )( )1 1 1x y x y= − − − + , pentru orice numere reale x şi y .
5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 5 1x x = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
3
1
x
f x x
= + .
5p a) Calculați ( )
1
lim
x
f x
→
.
5p b) Arătați că ( ) ( )( )
( )2
2
3 1 1
'
1
x x
f x
x
− +
= −
+
, x ∈ ℝ .
5p c) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f .
2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 5
f x x x= + .
5p a) Calculați
1 5
1
x dx
−
∫ .
5p b) Arătaţi că ( )( )
1 5
0
1x
f x x e dx− =∫ .
5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei
[ ]: 1, 2g → ℝ , definită prin ( ) ( )
3
f x x
g x x
−
= .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 10 2 5 2 5
2
am − +
= = 3p
10 5
2
= = 2p
2. ( ) 2
0 4 3 0f x x x= ⇔ − + = 3p
1 1x = și 2 3x = 2p
3. 5
2 1 2 1
log 0 1
3 3
x x− −
= ⇔ = 3p
2x = care verifică ecuația 2p
4. Sunt 4 numere de o cifră multipli ai lui 3, deci sunt 4 cazuri favorabile 2p
Sunt 10 numere de o cifră, deci sunt 10 cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 4 2
nr. cazuri posibile 10 5
p = = = 2p
5. M mijlocul segmentului AB ⇒ 2 6 4
2
Mx +
= = 3p
4My = 2p
6. 4
cos 5
a = , 5
cos 13
b = 2p
( ) 3 5 12 4 63
sin 5 13 13 5 65
a b+ = ⋅ + ⋅ = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 2 2
det 2 2
1 1
A −
= = − + =
− 3p
0= 2p
b) 2 2
1 1
A A − 
⋅ =  
−  3p
1p = 2p
c) ( ) 22 2 det
1 1
b
A B A B b b
b
− 
+ = ⇒ + = − + 
+ − 
2p
( )det 0 0A B b+ = ⇔ = sau 0 0
1 0 0
b B  
= ⇔ =  
 
sau 0 1
1 0
B  
=  
  3p
2.a) 1 2015 1 2015 1 2015= − ⋅ + + =
 3p
1= 2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) ( ) ( )1 1 1x y x y y= − − + − + =
 3p
( )( )1 1 1x y= − − − + , pentru orice numere reale x şi y 2p
c) ( )( )3 1 5 1 0x x
− − = 2p
0x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 21 1
3
lim lim 1x x
x
f x x→ →
= =
+ 2p
2
3 1 3
21 1
⋅
= =
+ 3p
b) ( )
( )
2
22
3 1 3 2
'( )
1
x x x
f x
x
+ − ⋅
= =
+
2p
( )
( )( )
( )
2
2 2
2 2
3 1 13 3
1 1
x xx
x x
− +−
= = −
+ +
, x ∈ ℝ 3p
c) ( ) 10 1f x x′ = ⇔ = − și 2 1x = 2p
( )' 0f x ≤ pentru orice ( ], 1x f∈ −∞ − ⇒ este descrescătoare pe ( ], 1−∞ − 1p
( )' 0f x ≥ pentru orice [ ]1,1x f∈ − ⇒ este crescătoare pe [ ]1,1− 1p
( )' 0f x ≤ pentru orice [ )1,x f∈ +∞ ⇒ este descrescătoare pe [ )1, +∞ 1p
2.a) 1 6
5
1
1
16
x
x dx
−
= =
−∫ 3p
1 1 0
6 6
= − = 2p
b) 1 1
0 0
1
0
x x x
xe dx xe e dx= − =∫ ∫ 3p
0 1 1e e= − − + = 2p
c)
( ) ( )5 2 5
2 4
3
1
2
15
x x x x
g x x V x dx
x
π
π
+ −
= = ⇒ = = =∫ 3p
31
5
π= 2p