Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2015

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , ştiind că 1 3a = și raţia 2r = .
5p 2. Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 2f x x x= + − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 4 5 1x x− + = .
5p 4. Determinaţi numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii { }1, 2, 3, 4, 5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,3A , ( )2,1B − şi ( )2,5C − . Determinaţi
lungimea vectorului AM
 , știind că M este mijlocul segmentului BC .
5p 6. Calculați ctg a , ştiind că 1
sin 3
a = și 0, 2
a
π 
∈ 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2
1 3
x
A x  
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Calculaţi ( )( )det 3A .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )2015 2015 2 0A A A− + = .
5p c) Determinaţi numerele reale x pentru care ( )( ) 2
det A x x= .
2. În [ ]5 Xℤ se consideră polinomul 3
f X aX= + , unde ɵ ɵ
{ }5 0, 1, 2, 3, 4= ɵ ɵ ɵℤ și 5a ∈ℤ .
5p a) Calculaţi ( )0f ɵ .
5p b) Determinaţi 5a ∈ℤ , știind că ( )3 3f =ɵ ɵ .
5p c) Arătaţi că, dacă ( ) ɵ
( )1 2f f=ɵ , atunci ( ) ɵ
( )3 4f f=ɵ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) lnx x
f x x
+
= .
5p a) Arătaţi că ( ) 2
1 ln
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 1x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f .
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 1
1
f x x x
= + + .
5p a) Calculați ( )
1
0
1
1
f x dx
x
 
− 
+ 
∫ .
5p b) Arătaţi că ( )
1
0
4 ln 2
3
x f x dx = −∫ .
5p c) Determinaţi numărul natural nenul n , ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f ,
axa Ox şi dreptele de ecuaţii 0x = , 1x = , are aria egală cu ( )21 ln
2 n n+ + .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_st-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )1 2 3 3 3 2 3 2 2a a a+ + = + + + + ⋅ = 3p
15= 2p
2. 1
2
b
a
− = − 2p
12 3
4 4a
∆
− = − = − 3p
3. 2 4 4 0x x− + = 3p
2x = care verifică ecuația 2p
4. Numărul submulțimilor cu 3 elemente ale unei mulțimi cu 5 elemente este egal cu 3
5C = 3p
10= 2p
5. ( )2,3M − 2p
4AM = 3p
6. 2 2
cos 3
a = 3p
ctg 2 2a = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )( ) 2 3
det 3 2 3 1 3
1 3
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
3= 2p
b) ( ) 2 2015
2015 1 3
A − 
− =  
 
, ( ) 2 2015
2015 1 3
A  
=  
  2p
( ) ( ) ( )
4 0 2 0
2015 2015 2 2 0
2 6 1 3
A A A
   
− + = = ⋅ =   
    3p
c) ( )( ) 2
det 6
1 3
x
A x x= = − 2p
2 16 0 3x x x+ − = ⇔ = − și 2 2x = 3p
2.a) ( ) 3
0 0 0f a= + ⋅ =ɵ ɵ ɵ 2p
0= ɵ 3p
b) ( ) ɵ3 2 3f a= + ⋅ɵ ɵ 2p
ɵ ɵ2 3 3 2a a+ ⋅ = ⇒ =ɵ ɵ 3p
c) ɵ1 3 2 3a a a+ = + ⋅ ⇒ =ɵ ɵ ɵ 2p
( )3 1f =ɵ ɵ și ɵ
( ) ( ) ɵ
( )4 1 3 4f f f= ⇒ =ɵ ɵ 3p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_st-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
2
'
ln ln 'x x x x x x
f x x
+ ⋅ − + ⋅
′ = = 2p
2 2
1
1 ln 1 ln
x x x xx
x x
 
+ ⋅ − −  − = = , ( )0,x ∈ +∞ 3p
b) ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − 2p
( )1 1f = , ( )' 1 1f = , deci ecuaţia tangentei este y x= 3p
c) ( ) 0f x x e′ = ⇔ = 1p
( )' 0f x ≥ pentru orice ( ]0,x e f∈ ⇒ este crescătoare pe ( ]0,e 2p
( )' 0f x ≤ pentru orice [ ),x e f∈ +∞ ⇒ este descrescătoare pe [ ),e +∞ 2p
2.a)
( )
1 1 1
0 0 0
1 1 1
1 1 1
f x dx x dx x dx
x x x
   
− = + − = =   
+ + +   
∫ ∫ ∫ 3p
2 1 1
2 20
x
= = 2p
b)
( )
1 1 1
2 2
0 0 0
1
1
1 1
x
x f x dx x dx x dx
x x
   
= + = + − =   
+ +   
∫ ∫ ∫ 2p
( )
3 1 4
ln 1 ln 2
03 3
x x x
 
= + − + = −  
 
3p
c)
( ) ( )
1 1 2
0 0
11 1
ln 1 ln 2
1 2 20
x
f x dx x dx x
x
  
= = + = + + = +    +   
∫ ∫
A 3p
( )21 1
ln 2 ln 2
2 2 n n n+ = + + ⇒ = − nu este număr natural şi 1n = 2p