Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M1 Mate-Info 2015

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 1z i= + . Calculați ( )2
1z − .
5p 2. Arătați că ( )1 2 1 23 4 3x x x x+ − = , știind că 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 5 3 0x x− + = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 3 2 2 0x x
− ⋅ + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să fie divizibil cu 13.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație 3 4y x= + și punctul ( )1,0A .
Determinați ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d .
5p 6. Calculaţi raza cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că 12AB = şi 6
C
π
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1 1 1
0 1
2 2 3
A a a a
a a
 
 = +
 + + 
, unde a este număr real.
5p a) Calculați ( )( )det A a .
5p b) Determinați numărul natural n , știind că ( ) ( ) ( )2
2 6A n A n A− = .
5p c) Arătaţi că există o infinitate de matrice ( )3,1X ∈ ℝ
M care verifică relaţia ( ) 0
2015 0
0
A X  
 ⋅ =  
 
.
2. Se consideră polinomul 3 3f X mX= + − , unde m este număr real.
5p a) Pentru 2m = , arătaţi că ( )1 0f = .
5p b) Determinaţi numărul real m , ştiind că polinomul f este divizibil cu 1X + .
5p c) Arătaţi că, pentru orice număr real strict pozitiv m , polinomul f are două rădăcini de module egale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 1
x
x
f x e x
+
= − .
5p a) Calculați ( )f x′ , x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 0x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Calculaţi ( )lim
x
f x
→ +∞
− .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
1
4
f x
x
=
+
.
5p a) Calculați ( )
2 2
0
f x dx∫ .
5p b) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei f este funcție crescătoare pe ℝ .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul ( )
1
0
n
nI x f x dx= ∫ . Arătaţi că
( ) 25 4 1n nnI n I −= − − pentru orice număr natural n , 3n ≥ .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2 2
1z i− = = 2p
1= − 3p
2. 1 2 5x x+ = 2p
( )1 2 1 2 1 23 3 4 3 5 4 3 3x x x x x x⋅ = ⇒ + − = ⋅ − ⋅ = 3p
3. ( )( )2 1 2 2 0 2 1x x x
− − = ⇔ = sau 2 2x = 3p
0x = sau 1x = 2p
4. Sunt 7 numere de două cifre care sunt divizibile cu 13, deci sunt 7 cazuri favorabile 2p
Sunt 90 de numere de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 7
nr. cazuri posibile 90
p = = 2p
5. Panta paralelei duse prin punctul A la dreapta d este 3m = 3p
Ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d este 3 3y x= − 2p
6. 1
sin 2
C = 2p
2 12
sin
AB R R
C = ⇒ = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( )
1 1 1
det 0 1
2 2 3
A a a a
a a
= + =
+ +
2p
1 1 1
0 1 0
2 2 2
a a= + = 3p
b)
( )2 2 2
2 2
1 1 1
2 ( ) 0 2 2 1
2 2 2 2 3
A n A n n n n n
n n n n
 
 
− = − − + 
 
− + − + 
, ( )
1 1 1
6 0 6 7
2 8 9
A
 
 
=  
 
 
3p
2 3
2 6 0 2
n n n− − = ⇒ = − ∉ ℕ , 2n = ∈ ℕ 2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c)
Pentru
x
X y
z
 
 =  
 
, avem ( )
0 0
2015 0 2015 2016 0
0 2 2017 2018 0
x y z
A X y z
x y z
+ + =  
 
⋅ = ⇔ + =    + + =  
2p
Determinantul sistemului omogen este egal cu 0 ⇒ sistemul are o infinitate de soluţii, deci
există o infinitate de matrice X 3p
2.a) 3 2 3f X X= + − 2p
( )1 1 2 3 0f = + − = 3p
b) 3 3f X mX= + − este divizibil cu ( )1 1 0X f+ ⇔ − = 2p
4m = − 3p
c) 2 2 2
1 2 3 2 0x x x m f+ + = − < ⇒ are cel puţin o rădăcină din \ℂ ℝ 2p
[ ]f X f∈ ⇒ℝ are două rădăcini conjugate din \ℂ ℝ , care au modulele egale 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
( )2
1 1x x
x
e x x e
f x
e x
− − + −
′ = =
−
2p
( )2
1 x
x
xe
e x
−
=
−
, x ∈ ℝ 3p
b) ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − 2p
( )0 1f = , ( )' 0 1f = , deci ecuaţia tangentei este 1y x= + 3p
c) ( ) 1
lim lim xx x
x
f x e x−→ +∞ → +∞
− +
− = =
+ 2p
1
lim 1
1 xx e−→ +∞
−
= = −
− 3p
2.a)
( ) 22 2
2
2 00 0
1 1 arctg
2 24
x
f x dx dx
x
= = =
+
∫ ∫ 3p
( )
1 arctg1 arctg 0
2 8
π
= − = 2p
b) F este o primitivă a funcţiei ( ) ( )f F x f x′⇒ = 2p
( ) 2
1 0
4
F x
x
′ = >
+
pentru orice număr real x , deci F este crescătoare pe ℝ 3p
c)
( ) ( ) ( )2 21 1 11
1 2 2 2
2 200 0 0
4
4 1 4 5 1
4 4
nn n n
n
x xx
I dx x x n x x dx n dx
x x
−
− − +
= = + − − + = − − =
+ +
∫ ∫ ∫ 3p
( ) ( ) ( )2 25 1 4 1 5 4 1n n n nn I n I nI n I− −= − − − − ⇒ = − − pentru orice număr natural n , 3n ≥ 2p