Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2014 – sesiunea specială, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările
profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 2 1
3 1
3 3
 
⋅ − = 
  .
5p 2. Determinați numărul real m știind că ( ) 1f m = , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 4f x x= − .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2
2 1 1x + = .
5p 4. În anul 2013, profitul anual al unei firme a fost de 100000 de lei, ceea ce reprezintă 4% din
valoarea veniturilor anuale ale firmei. Determinați valoarea veniturilor anuale ale firmei în anul 2013.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele (5,6)A , (2,6)B şi (5, 2)C . Arătați că triunghiul
ABC este dreptunghic.
5p 6. Arătați că 2 2
tg 60 tg 45 4° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3 1
5 2
A  
=  
− − 
, 2 1
5 3
B  
=  
− − 
şi 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătaţi că det 1A = − .
5p b) Arătaţi că 22A B B A I⋅ − ⋅ = .
5p c) Determinaţi numărul real x știind că 2A A xA I⋅ − = .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie ( )2 1x y x y xy∗ = + − − .
5p a) Arătaţi că 1 2 2∗ = .
5p b) Arătaţi că 2 2 2x x∗ = ∗ = pentru orice număr real x .
5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )1 x
f x x e= − .
5p a) Arătaţi că ( )
0
lim 1
x
f x
→
= − .
5p b) Arătaţi că ( ) ( )' x
f x e f x= + pentru orice număr real x .
5p c) Arătaţi că ( )
0
1
lim 0
x
f x
x→
+ = .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
3 2f x x x= + .
5p a) Arătaţi că
2 2
1
3 7x dx =∫ .
5p b) Determinați primitiva :F →ℝ ℝ a funcției f pentru care ( )1 2014F = .
5p c) Determinaţi numărul natural n , 2n ≥ ştiind că ( )
1
13
2
n f x dx
x =∫ .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 1 1
3 3 3
− = 2p
1
3 1
3
⋅ = 3p
2. 4 1m − = 3p
5m = 2p
3. 2
2 1 1x + = 3p
0x = , care verifică ecuația 2p
4. 100000 4% x= ⋅ , unde x reprezintă venitul anual al firmei 3p
2500000x = de lei 2p
5. 3AB = , 4AC = și 5BC = 3p
2 2 2
AB AC BC+ = , deci ABC∆ este dreptunghic 2p
6. tg 60 3° = și tg 45 1° = 2p
2 2
tg 60 tg 45 3 1 4° + ° = + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 3 1
det 5 2
A = =
− − 2p
( ) ( )3 2 1 5 1= ⋅ − − ⋅ − = − 3p
b) 1 0
0 1
A B  
⋅ =  
  2p
2
1 0 2 0 1 0 1 0
2
0 1 0 2 0 1 0 1
B A A B B A I
       
⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = − = =       
        3p
c) 4 1 4 3 1
5 1 5 5 1 2
x x
A A A A xA x x
− −   
⋅ = ⇒ ⋅ − =   
− − − + − +    3p
4 3 1 1 0 1
5 5 1 2 0 1
x x x
x x
− −   
= ⇒ =   
− + − +    2p
2.a) ( )1 2 2 1 2 1 1 2∗ = + − − ⋅ = 3p
4 2 2= − = 2p
b) ( )2 2 2 1 2 2x x x∗ = + − − ⋅ = 2p
( )2 2 2 1 2 2 2x x x x∗ = + − − = = ∗ pentru orice număr real x 3p
c) 2 2
4 2 3 2 0x x x x x− + − = ⇔ − + = 3p
1 1x = şi 2 2x = 2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
0 0
lim lim 1 x
x x
f x x e
→ →
= − = 2p
0
1 1e= − ⋅ = − 3p
b) ( ) ( )' 1 1x x
f x e x e= ⋅ + − = 3p
( )x
e f x= + pentru orice număr real x 2p
c) ( ) ( ) ( )
0 0
1 0
lim lim 0x x
f x f x f
x x→ →
+ −
= =
− 2p
( )' 0 0f= = 3p
2.a) 2 2 3
1
2
3 1
x dx x= =∫ 3p
8 1 7= − = 2p
b) O primitivă F a funcţiei f este de forma 3 2
( )F x x x c= + + , unde c ∈ ℝ 3p
( ) 3 2
1 2 2012 ( ) 2012F c c F x x x= + ⇒ = ⇒ = + + 2p
c) ( ) ( ) 2
1 1
3 4 7
3 2 2
n n
f x n n
dx x dx
x
+ −
= + =∫ ∫ 3p
2 2 1
3 4 7 13 10
3 4 20 0
2 2 3
n n n n n
+ − = ⇔ + − = ⇒ = − nu este număr natural şi 2 2n = 2p