Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2014 – sesiunea specială, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările
profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Pentru 3a = arătați că 2 5
2 6
a
a
− = .
5p 2. Determinaţi abscisa punctului de intersecţie a graficelor funcţiilor :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3f x x= − și
:g →ℝ ℝ , ( ) 1g x x= + .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 5 3x + = .
5p 4. Prețul unei imprimante este 120 de lei. Determinați prețul imprimantei după o scumpire cu 10% .
5p 5. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele (2, 2)A , (2,5)B și (6,5)C . Determinaţi
perimetrul triunghiului ABC .
5p 6. Calculaţi cos A ştiind că 3
sin 2
A = şi unghiul A este ascuţit.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 2
1 0
A  
=  
 
, 0 1
b b
B  
=  
 
şi 1 0
0 0
C  
=  
 
, unde b este număr real.
5p a) Arătaţi că det 2A = − .
5p b) Determinaţi numărul real b pentru care A B AB C+ = + .
5p c) Arătaţi că ( )det 2 det detB C B A+ = − pentru orice număr real b .
2. Se consideră polinomul 3 2
4 2f X X X= − + + .
5p a) Arătaţi că ( )1 0f = .
5p b) Determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f prin 1X − .
5p c) Arătaţi că ( )1 2 3
1 2 3
1 1 1 2x x x x x x
 
+ + + + = − 
 
ştiind că 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 lnf x x x= − .
5p a) Arătaţi că ( )
1
lim 1
x
f x
→
= .
5p b) Arătaţi că ( ) 1
' 2f x x x
= − , ( )0,x ∈ +∞ .
5p c) Arătaţi că funcţia f este convexă pe intervalul ( )0, +∞ .
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 2
1
x
f x x
= + .
5p a) Arătaţi că
1 2
0
1
3
x dx =∫ .
5p b) Determinaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii
0x = şi 1x = .
5p c) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei f este funcţie crescătoare pe intervalul ( )1,− +∞ .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 3 2
2 2 3
a
a
− = − = 2p
9 4 5
6 6
−
= = 3p
2. 2 3 1x x− = + 3p
4x = 2p
3. 2 5 9x + = 2p
1 2x = − și 2 2x = , care verifică ecuația 3p
4. 10 120 12
100 ⋅ = 3p
După scumpire prețul imprimantei este 120 12 132+ = de lei 2p
5. 3AB = , 4BC = și 5AC = 3p
3 4 5 12ABCP∆ = + + = 2p
6. 3
cos 1 4
A = − = 3p
1
2
= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 2
det 1 0
A = = 2p
1 0 1 2 2= ⋅ − ⋅ = − 3p
b) 1 2
1 1
b b
A B + + 
+ =  
 
, 2b b
AB b b
+ 
=  
 
, 1 2b b
AB C b b
+ + 
+ =  
  3p
1 2 1 2 1
1 1
b b b b b
b b
+ + + +   
= ⇔ =   
    2p
c) ( ) 2
det 2 2
0 1
b b
B C b
+
+ = = + 3p
( )det det det 2 det 2 det detB b B A b B C B A= ⇒ − = + ⇒ + = − pentru orice număr real b 2p
2.a) ( ) 3 2
1 1 4 1 1 2f = − ⋅ + + = 3p
1 4 3 0= − + = 2p
b) Câtul este 2 3 2X X− − 3p
Restul este 0 2p
c) 1 2 3 4x x x+ + = , 1 2 2 3 1 3 1x x x x x x+ + = , 1 2 3 2x x x = − 3p
( ) ( )( )1 2 3 1 2 2 3 1 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 1 2
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
+ + + + 
+ + + + = = − 
  2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )2
1 1
lim lim ln
x x
f x x x
→ →
= − = 2p
2
1 ln1 1= − = 3p
b) ( )'2
'( ) lnf x x x= − = 2p
( ) ( )
'2 1
ln ' 2x x x x
= − = − , ( )0,x ∈ +∞ 3p
c)
( ) '
' 1
''( ) 2f x x x
 
= − = 
  2p
2
1
2 0
x
= + > pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci funcţia f este convexă pe intervalul ( )0, +∞ 3p
2.a) 1 3
2
0
1
03
x
x dx = =∫ 3p
1 1
0
3 3
= − = 2p
b) 1 1 12 2
0 0 0
1
1
1 1 1
x x
dx dx x dx
x x x
 
= = = − + = 
+ + + 
∫ ∫ ∫
A 3p
( )
2 1 1
ln 1 ln 2
2 20
x x x
 
= − + + = − 
  2p
c) F este o primitivă a funcţiei ( ) ( )'f F x f x⇒ = 2p
( ) 2
' 0
1
x
F x x
= ≥
+ pentru orice ( )1,x ∈ − +∞ , deci funcţia F este crescătore pe ( )1,− +∞ 3p