Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2014 – sesiunea specială, varianta 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c) – 2 iulie 2014
Matematică M_tehnologic
Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările
profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că
2
1 3
1 1
2 4
 
− + = 
  .
5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficul funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 4f x x= + cu
axa Oy .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 1
3 9x− = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să
fie mai mic sau egal cu 3.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A , ( )4,1B şi ( )4, 4C . Arătați că AB BC= .
5p 6. Determinați aria triunghiului ABC dreptunghic în A știind că 6AB = și 10BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 2
2 4
A  
=  
 
şi 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătaţi că det 0A = .
5p b) Arătaţi că 5A A A⋅ = .
5p c) Determinaţi numerele reale x și y pentru care 2
3
x y
A I
y
 
+ = 
− 
.
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y x y xy= + + .
5p a) Arătaţi că ( )1 1 1− = − .
5p b) Arătați că ( )( )1 1 1x y x y= + + − pentru orice numere reale x și y .
5p c) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )1 3 4x x+ − = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 2,f +∞ → ℝ , 1
( ) 2
x
f x x
−
= − .
5p a) Arătaţi că ( )
3
lim 2
x
f x
→
= .
5p b) Arătaţi că ( ) ( )2
1
'
2
f x
x
= −
−
, ( )2,x ∈ +∞ .
5p c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 3x = , situat pe graficul
funcţiei f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , 2
( ) 2 1f x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )
1
1
2 1 2x dx
−
+ =∫ .
5p b) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei
:[0,1]g → ℝ , ( ) ( ) 2 1g x f x x= − − .
5p c) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este o funcţie crescătoare pe ℝ .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c) – 2 iulie 2014
Matematică M_tehnologic
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2
1 1
1 2 4
 
− = 
  3p
1 3 1
4 4
+ = 2p
2. ( )0 4f = 3p
Coordonatele punctului de intersecție sunt 0x = și 4y = 2p
3. 3 1 2x − = 3p
1x = 2p
4. Numerele naturale de o cifră mai mici sau egale cu 3 sunt 0, 1, 2 și 3 , deci sunt 4 cazuri
favorabile 2p
Sunt 10 numere naturale de o cifră, deci sunt 10 cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 4 2
nr. cazuri posibile 10 5
p = = = 2p
5. 3AB = 2p
3BC AB BC= ⇒ = 3p
6. 8AC = 2p
6 8 24
2
ABC∆
⋅
= =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 2
det 2 4
A = = 2p
1 4 2 2 0= ⋅ − ⋅ = 3p
b) 1 2 1 2 5 10
2 4 2 4 10 20
A A      
⋅ = = =     
      3p
1 2
5 5
2 4 A
 
= ⋅ = 
  2p
c) 1 2 1 2
3 2 4 3 2 1
x y x y x y
A y y y
+ +       
+ = + =       
− − +        3p
1 2 1 0 0, 2
2 1 0 1
x y x y
y
+ +   
= ⇔ = = −   
+    2p
2.a) ( ) ( )1 1 1 1 1 1− = − + + − ⋅ =
 3p
0 1 1= − = − 2p
b) 1 1x y x xy y= + + + − =
 2p
( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1x y y x y= + + + − = + + − pentru orice numere reale x și y 3p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( )( ) 2
2 2 1 4 9 0x x x+ − − = ⇔ − = 3p
1 3x = − și 2 3x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
3 3
1
lim lim 2x x
x
f x x→ →
−
= =
− 2p
3 1 2
3 2
−
= =
− 3p
b) ( ) ( ) ( )( )
( )2
1 2 1 2
'( )
2
x x x x
f x
x
′ ′− − − − −
= =
− 2p
( ) ( )2 2
2 1 1
2 2
x x
x x
− − +
= = −
− −
, ( )2,x ∈ +∞ 3p
c) ( ) ( )( )3 ' 3 3y f f x− = − 2p
( )3 2f = , ( )' 3 1f = − , deci ecuaţia tangentei este 5y x= − + 3p
2.a)
( ) ( )
1 2
1
1
2 1 1
x dx x x
−
+ = + =
−∫ 3p
2 0 2= − = 2p
b)
( )
1 1
2 4
0 0
V g x dx x dx
π
π= = =∫ ∫ 2p
5 1
05 5
x
π
π= = 3p
c) F este o primitivă a funcţiei ( ) ( )f F x f x′⇒ = 2p
( ) ( )2
1 0F x x′ = + ≥ pentru orice x ∈ ℝ , deci funcţia F este crescătoare pe ℝ 3p