Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2014 – sesiunea specială, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările
profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2
1 2 2 2 3+ − = .
5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x x= − cu
axa Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 2
3 3x+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să
fie divizor al lui 8.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A , ( )3,1B şi ( )3,3C . Arătați că triunghiul
ABC este isoscel.
5p 6. Determinați lungimea laturii AB a triunghiului ABC dreptunghic în A , știind că 10BC = și
( ) 30m C = 
∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1
8 3
a
A  
=  
 
şi 1 1
8 3
B  
=  
 
, unde a este număr întreg.
5p a) Arătați că det 5B = − .
5p b) Arătați că det 0A ≠ pentru orice număr întreg a .
5p c) Determinați numărul întreg a știind că inversa matricei A are toate elementele numere întregi.
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 5 5 30x y xy x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că 1 5 5∗ = .
5p b) Arătați că ( )( )5 5 5x y x y∗ = − − + pentru orice numere reale x şi y .
5p c) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia x x x∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
f x x x= − .
5p a) Arătați că ( )' 2 1f x x= − , x ∈ ℝ .
5p b) Calculați ( )
2
lim
x
f x
x→+∞ .
5p c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 1x = , situat pe graficul
funcţiei f .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1
2f x x x
= + .
5p a) Arătaţi că
1
1 1
e
dx
x =∫ .
5p b) Arătaţi că funcţia ( ): 0F ,+∞ → ℝ , ( ) 2 ln 2F x x x= + + este o primitivă a funcţiei f .
5p c) Arătaţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii 1x = şi
2x = are aria mai mică strict decât 4.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2
1 2 3 2 2+ = + 3p
3 2 2 2 2 3+ − = 2p
2. ( ) 0 1 0f x x= ⇒ − = 3p
Coordonatele punctului de intersecție sunt 1x = și 0y = 2p
3. 1 2x + = 3p
1x = 2p
4. Numerele naturale de o cifră, divizori ai lui 8, sunt 1, 2, 4 și 8, deci sunt 4 cazuri favorabile 2p
Sunt 10 numere naturale de o cifră, deci sunt 10 cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 4 2
nr. cazuri posibile 10 5
p = = = 2p
5. 2AB = 2p
2BC AB BC= ⇒ = , deci ABC∆ este isoscel 3p
6. sin 30 10
AB
° = 2p
5AB = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 1
det 8 3
B = = 2p
3 8 5= − = − 3p
b) 1
det 3 8
8 3
a
A a= = − 3p
3 8 0a a∈ ⇒ − ≠ℤ 2p
c) 1 3 11
83 8
A aa
− − 
=  
−−   3p
7
3 8 1 3
a a− = − ⇒ = nu este număr întreg 1p
3 8 1 3a a− = ⇒ = pentru care inversa matricei A are toate elementele numere întregi 1p
2.a) 1 5 1 5 5 1 5 5 30∗ = ⋅ − ⋅ − ⋅ + 3p
25 30 5= − + = 2p
b) 5 5 25 5x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )5 5 5 5 5 5 5x y y x y= − − − + = − − + pentru orice numere reale x și y 3p
c) ( )2 2
5 5 11 30 0x x x x− + = ⇔ − + = 3p
1 5x = și 2 6x = 2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )'
2
'f x x x= − = 2p
( )'
2 ' 2 1x x x= − = − , x ∈ ℝ 3p
b) ( ) 2
2 2
lim lim
x x
f x x x
x x→+∞ →+∞
−
= = 2p
1= 3p
c) ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − 2p
( )1 0f = , ( )' 1 1f = , deci ecuaţia tangentei este 1y x= − 3p
2.a)
1
1 ln 1
e e
dx x
x = =∫ 3p
ln ln1 1e= − = 2p
b) ( ) ( )'2 1
' ln 2 2F x x x x x
= + + = + = 3p
( )f x= pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci F este o primitivă a funcţiei f 2p
c)
( ) ( )
2 2 2
2
1
1 1
1
2 ln 3 ln 2f x dx x dx x x
x
 
= = + = + = + 
 
∫ ∫
A 3p
2 ln 2 ln 3 ln 2 3 1 4e e< ⇒ < ⇒ + < + ⇒ <
A 2p