Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2014 – sesiunea specială, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c) – 2 iulie 2014
Matematică M_tehnologic
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările
profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )5 2 3 5 3 10+ − = .
5p 2. Determinați numărul real a ştiind că ( )1f a= , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 3f x x= + .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2 2log 2 1 log 5x + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să fie divizibil cu 10.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,5A şi ( )3,5B . Calculaţi distanţa de la punctul
A la punctul B .
5p 6. Arătați că 2 2 3
sin 30 cos 45 4
° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 4 8
1 2
A  
=  
  , 1 2
1 2
B  
=  − −  și 3
2 4
x
C  
=  
  , unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 0A = .
5p b) Determinaţi numărul real x știind că B C A+ = .
5p c) Arătaţi că 2B B B O⋅ + = , unde 2
0 0
0 0
O  
=  
  .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 4 4 12x y xy x y= + + + .
5p a) Arătați că ( )0 4 4− = − .
5p b) Arătaţi că ( )( )4 4 4x y x y= + + − pentru orice numere reale x şi y .
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 12x x = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1
lnf x x x
= − .
5p a) Arătaţi că ( ) 2
1
' x
f x x
+
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Arătați că ( ) ( )
2
2 3
lim 2 4x
f x f
x→
− =
− .
5p c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 1x = , situat pe graficul
funcţiei f .
2. Se consideră funcţiile :f →ℝ ℝ , ( ) x
f x e x= − şi :F →ℝ ℝ , ( ) 2
1
2
x x
F x e= − − .
5p a) Arătaţi că
1
0
1x
e dx e= −∫ .
5p b) Arătați că funcția F este o primitivă a funcţiei f .
5p c) Calculați ( )
1
0
F x dx∫ .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c) – 2 iulie 2014
Matematică M_tehnologic
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )5 2 3 10 5 3+ = + 3p
( )5 2 3 5 3 10 5 3 5 3 10+ − = + − = 2p
2. ( )1 1 3f a a= ⇒ + = 3p
4a = 2p
3. 2 1 5x + = 3p
2x = care verifică ecuația 2p
4. Sunt 9 numere de două cifre care sunt divizibile cu 10, deci sunt 9 cazuri favorabile 2p
Sunt 90 de numere de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 9 1
nr. cazuri posibile 90 10
p = = = 2p
5. ( ) ( )2 2
2 3 5 5AB = − + − 3p
1AB = 2p
6. 1
sin 30 2
° = , 2
cos 45 2
° = 2p
2 2 1 2 3
sin 30 cos 45 4 4 4
° + ° = + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 4 8
det 1 2
A = = 2p
4 2 1 8 0= ⋅ − ⋅ = 3p
b) 4 2
1 2
x
B C + 
+ =  
  3p
4 2 4 8 6
1 2 1 2
x x
+   
= ⇒ =   
    2p
c) 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
B B − −    
⋅ = =    
− − − −     3p
2
1 2 1 2 0 0
1 2 1 2 0 0
B B B O
− −     
⋅ + = + = =     
− −      2p
2.a) ( ) ( ) ( )0 4 0 4 4 0 4 4 12− = ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + =
 3p
16 12 4= − + = − 2p
b) 4 4 16 4x y xy x y= + + + − =
 2p
( ) ( ) ( )( )4 4 4 4 4 4 4x y y x y= + + + − = + + − pentru orice numere reale x şi y 3p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( )2
4 4 12x + − = 2p
2 18 0 8x x x+ = ⇒ = − și 2 0x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
1 1
'f x x x
 
= − − = 
  3p
2 2
1 1 1x
x x x
+
= + = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) ( ) ( )
2
2
lim 2
2x
f x f f
x→
− ′= =
− 3p
2
2 1 3
42
+
= = 2p
c) ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − 2p
( )1 1f = − , ( )' 1 2f = , deci ecuaţia tangentei este 2 3y x= − 3p
2.a) 1
0
1
0
x x
e dx e= =∫ 3p
1 0 1e e e= − = − 2p
b)
( )
'2
' 1
2
x xx
F x e e x
 
= − − = − =  
 
3p
( )f x= pentru orice număr real x , deci F este o primitivă a funcţiei f 2p
c)
( )
1 1 1 1 12 2
0 0 0 0 0
1
2 2
x xx x
F x dx e dx e dx dx dx
 
= − − = − − =  
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2p
31 1 1 1 13
1 1
0 0 06 6 6
x x
e x e e= − − = − − − = − 3p