Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2014 – sesiunea specială, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 2 3z i= + . Calculați 2
z .
5p 2. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie cu axa Ox a graficului funcţiei :f →ℝ ℝ ,
( ) 2 6 9f x x x= − + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
9log 5 1x + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să fie divizibil cu 13.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,0A − , ( )2,0B şi ( )0,3C . Calculaţi aria
triunghiului ABC .
5p 6. Se consideră ( ) cos sin 2
x
E x x= + , unde x este număr real. Calculați 2
E
π 
 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2 1 1
1 2
a
A a a
+ 
=  −  , unde a este număr real.
5p a) Calculaţi ( )( )det 1A .
5p b) Determinaţi numărul real a ştiind că ( )( )det 1A a = .
5p c) Determinaţi inversa matricei ( )0A .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 3 3 6x y xy x y= − − + .
5p a) Calculați 1 2 .
5p b) Arătaţi că 3 3 3
2 2 2 2
x y x y  = − − +  
  
 pentru orice numere reale x și y .
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x x = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): , 2f −∞ → ℝ , ( ) 2
x
e
f x x
−
= − .
5p a) Calculaţi ( )
1
lim
x
f x
→
.
5p b) Arătaţi că ( )
( )2
1
( )
2
x
x e
f x
x
−
−
′ =
−
, ( ), 2x ∈ −∞ .
5p c) Arătaţi că ( ) 1
f x e
≤ − pentru orice ( ), 2x ∈ −∞ .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ln
1
x
f x x
= + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )
2
1
1 2ln 2 1x f x dx+ = −∫ .
5p b) Arătaţi că ( ) ( ) ( )( )
1
1 ' 1
e
f x x f x dx+ + =∫ .
5p c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei
[ ]: 2,3g → ℝ , ( )
ln
( ) x
g x f x
= .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_st-nat Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )22 2
2 2 2 3 3z i i= + ⋅ ⋅ + = 3p
5 12i= − + 2p
2. ( ) ( )2
0 3 0f x x= ⇒ − = 3p
3x = şi 0y = 2p
3. 2 2
5 9 4 0x x+ = ⇒ − = 3p
1 2x = − și 2 2x = , care verifică ecuația 2p
4. Sunt 7 numere de două cifre divizibile cu 13, deci sunt 7 cazuri favorabile 2p
Sunt 90 de numere de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 7
nr. cazuri posibile 90
p = = 2p
5. 4AB = , 3CO = și CO este înălțime 3p
4 3 6
2
ABC∆
⋅
= =
A 2p
6. cos sin
2 2 4
E
π
π π  = + = 
  3p
2 2
0 2 2
= + = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )( ) 3 1
det 1 3 2 1 0
0 2
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
6= 2p
b) ( )( ) 2 1 1
det 5 1
1 2
a
A a a
a
+
= = +
− 3p
5 1 1 0a a+ = ⇒ = 2p
c) ( ) 1 1
0 1 2
A  
=  
 
; ( )( )det 0 1A = 2p
( )( ) 1 2 1
0 1 1
A − − 
=  
−  3p
2.a) 1 2 2 1 2 3 1 3 2 6= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + =
 3p
1= 2p
b) 3 3 9 3
2 2 2 4 4
x y xy x y
 
= − − + + = 
 

 2p
3 3 3 3 3 3 3
2 2
2 2 2 2 2 2 2
x y y x y
       
= − − − + = − − +       
        pentru orice numere reale x și y 3p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_st-nat Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) 2 2
3 3 3 1
2 2
2 2 2 4
x x
   
− + = ⇒ − =   
    3p
1 1x = și 2 2x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 1
1 1
lim lim 2 1 2
x
x x
e e
f x x
− −
→ →
= = =
− − 3p
1
e
= − 2p
b) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
' '
2 2
2 2 2
( )
2 2
x x x xe x e x e x e
f x
x x
− − − −⋅ − − ⋅ − − ⋅ − −
′ = =
− −
3p
( )
( )
( )
( )2 2
1 1
2 2
x x
e x x e
x x
− −
− ⋅ − −
= =
− −
, ( ), 2x ∈ −∞ 2p
c) ( )' 1 0f = , ( )' 0f x > pentru orice ( ),1x ∈ −∞ şi ( )' 0f x < pentru orice ( )1,2x ∈ 3p
( ) ( ) ( ) 1
1f x f f x e
≤ ⇒ ≤ − pentru orice ( ), 2x ∈ −∞ 2p
2.a)
( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2
1 ln ln 1
1
x f x dx x dx x x dx+ = = − =∫ ∫ ∫ 3p
2
2ln 2 2ln 2 1
1
x= − = − 2p
b)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )''
1 1
1 1
e e
f x x f x dx x f x dx+ + ⋅ = + ⋅ =∫ ∫ 3p
( ) ( )1 ln 1
1
e
x f x e= + = = 2p
c)
( ) ( )
3 3 22
2 2
1V g x dx x dx
π
π= ⋅ = ⋅ + =∫ ∫ 2p
( )3 31 37
= 23 3
x
π
π +
⋅ = 3p