Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2014 – sesiunea specială, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul real x pentru care numerele 2, 2x + și 10 sunt termeni consecutivi ai unei
progresii aritmetice.
5p 2. Determinați valoarea minimă a funcţiei :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 10f x x x= − − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
2log 2 3x x− = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să fie par.
5p 5. Determinaţi numărul real a pentru care vectorii ( )2 2u a i j= − −
   şi 3 2v i j= +
   sunt opuşi.
5p 6. Calculaţi cosinusul unghiului A al triunghiului ABC în care 4AB = , 5AC = şi 6BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele
0 1 0
1 0 1
0 1 0
A
 
 =  
 
 
şi
0 0 1
0 1 0
1 0 0
B
 
 
=  
 
 
.
5p a) Calculaţi det B .
5p b) Arătați că AB BA= .
5p c) Determinaţi numerele reale x pentru care ( )det 1B xA+ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )4 5x y xy x y∗ = − + − .
5p a) Calculați 4 5∗ .
5p b) Arătați că ( )( )4 4 4x y x y∗ = − − + pentru orice numere reale x și y .
5p c) Calculați 1 2 3 2014∗ ∗ ∗ ∗⋯ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ ,
2
2
3
( ) 3
x
f x x
−
= + .
5p a) Calculaţi ( )lim
x
f x
→+∞
.
5p b) Arătaţi că
( )2
2
12
( )
3
x
f x
x
′ =
+
, x ∈ ℝ .
5p c) Arătaţi că funcția f este convexă pe intervalul ( )1,1− .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) lnf x x= .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )
1
1
' 2
e
f x f x dx⋅ =∫ .
5p b) Arătaţi că ( ) 4
3
1
3 1
16
e e
x f x dx +
=∫ .
5p c) Determinaţi aria suprafaţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii
1x = şi x e= .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_st-nat Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 10
2 2
x +
+ = 3p
4x = 2p
2. 44∆ = 2p
Valoarea minimă a funcției f este egală cu 11
4a
∆
− = − 3p
3. 2 2 8 0x x− − = 3p
1 2x = − și 2 4x = , care verifică ecuația 2p
4. Sunt 45 de numere pare de două cifre, deci sunt 45 de cazuri favorabile 2p
Sunt 90 de numere de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 45 1
nr. cazuri posibile 90 2
p = = = 2p
5. 2 3u v a= − ⇔ − = −

 
 3p
1a = − 2p
6. 16 25 36
cos 2 4 5
A + −
= =
⋅ ⋅ 3p
1
8
= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 0 0 1
det 0 1 0 0 0 0 1 0 0
1 0 0
B = = + + − − − = 3p
1= − 2p
b) 0 1 0
1 0 1
0 1 0
AB
 
 
=  
 
 
2p
0 1 0
1 0 1
0 1 0
BA AB BA
 
 
= ⇒ = 
 
 
3p
c)
( ) 2
0 1
det 1 2 1
1 0
x
B xA x x x
x
+ = = − 3p
2 12 1 1 1x x− = ⇔ = − și 2 1x = 2p
2.a) ( )4 5 4 5 4 4 5 5∗ = ⋅ − + − = 3p
4= 2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_st-nat Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) 4 4 16 4x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )4 4 4 4 4 4 4x y y x y= − − − + = − − + pentru orice numere reale x și y 3p
c) 4 4 4x x∗ = ∗ = pentru orice număr real x 2p
( ) ( ) ( )1 2 3 ... 2014 1 2 3 4 5 ... 2014 4 5 ... 2014 4∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 2
2
3
lim lim 3x x
x
f x x→+∞ →+∞
−
= =
+ 2p
1= 3p
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
' '2 2 2 2
22
3 3 3 3
3
x x x x
f x
x
− ⋅ + − − ⋅ +
′ = =
+
2p
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
2 3 2 3 12
3 3
x x x x x
x x
+ − −
= =
+ +
, x ∈ ℝ 3p
c) ( )
( )
2
3
2
36 1
''( )
3
x
f x
x
−
=
+
, x ∈ ℝ 3p
( )'' 0f x > pentru orice ( )1,1x f∈ − ⇒ este convexă pe intervalul ( )1,1− 2p
2.a)
( ) ( ) ( )2
1
1
' 2 1
e e
f x f x dx f x⋅ = =∫ 3p
( ) ( )( )2 21 1
1
2 2
f e f= − = 2p
b)
( )
'4 4 4
3
1 1 1
1
ln ln
4 4 41
e e e
ex x x
x f x dx x dx x dx
x
 
= = − ⋅ =  
 
∫ ∫ ∫ 2p
4 4 4
3 1
4 16 161
ee x e +
= − = 3p
c)
( ) ( )
1 1
ln ln
1
e e e
f x dx x dx x x x= = = − =∫ ∫
A 3p
( ) ( )ln ln1 1 1e e e= − − − = 2p