Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2014 – sesiunea specială, varianta 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c) – 2 iulie 2014
Matematică M_şt-nat
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 2z i= + . Calculați 2
z .
5p 2. Determinaţi numărul real m știind că punctul ( ),1M m aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 3f x x= − .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )3log 3 2x − = .
5p 4. Determinaţi numărul submulțimilor cu număr impar de elemente ale mulțimii { }1, 2, 3, 4A = .
5p 5. În dreptunghiul ABCD se notează cu M mijlocul laturii AD . Arătaţi că 2MB MC AB+ =
   .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A . Arătați că sin cos sin cos 1B C C B⋅ + ⋅ = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 0 2014
1 1
A  
=  −  și 2
1 0
0 1
I  
=  
  .
5p a) Calculați det A .
5p b) Arătați că 22014A A A I+ ⋅ = .
5p c) Rezolvaţi în 2 ( )ℝM ecuaţia matriceală 22014A X I⋅ = .
2. Se consideră polinomul 3 2
6 6f X X mX= − + − , unde m este număr real.
5p a) Calculați ( )0f .
5p b) Arătaţi că
1 2 1 3 2 3
1 1 1 1
x x x x x x
+ + = ştiind că 1 2,x x şi 3x sunt rădăcinile polinomului f .
5p c) Determinaţi numărul real m știind că rădăcinile polinomului f sunt trei numere întregi
consecutive.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , 2
( ) 1
x
f x x
= + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )
( )2
2
1 1
1
x x
f x
x
− +
′ =
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 1x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Determinați punctele de extrem ale funcției f .
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 1 1 1
1 2 3
f x x x x
= + +
+ + + .
5p a) Arătaţi că ( )
1
0
1 1 ln 2
2 3
f x dx
x x
 
− − = 
+ + 
∫ .
5p b) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei f este concavă pe intervalul ( )1,− +∞ .
5p c) Arătaţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații 0x = și
x n= , are aria mai mare sau egală cu ln 4 , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_st-nat Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c) – 2 iulie 2014
Matematică M_şt-nat
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )22 2
2 4 4z i i i= + = + + = 3p
3 4i= + 2p
2. ( ) 1f m = 2p
3 1 4m m− = ⇔ = 3p
3. 3 9x − = 3p
12x = care verifică ecuația 2p
4. Numărul submulțimilor cu un număr impar de elemente ale unei mulțimi cu 4 elemente este
egal cu 1 3
4 4C C+ = 3p
8= 2p
5. MB MA AB= +



 


 


 2p
2MC MD DC MB MC AB= + ⇒ + =




 



 


 


 



 


 3p
6. cos sinC B= , sin cosC B= 2p
2 2
sin cos sin cos sin cos 1B C C B B B⋅ + ⋅ = + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
0 2014
det 0 1 1 2014
1 1
A = = ⋅ − − ⋅ =
− 3p
2014= − 2p
b) 0 2014 0 2014 2014 2014
1 1 1 1 1 2015
A A −    
⋅ = =    
− − −     3p
2
0 2014 2014 2014 2014 0 2014
1 1 1 2015 0 2014
A A A I
−     
+ ⋅ = + = =     
− −      2p
c) 1 1 1 2014
1 02014
A−  
=  
  3p
1 1 2014
2014 1 0
X A−  
= =  
  2p
2.a) ( ) 3 2
0 0 6 0 0 6f m= − ⋅ + ⋅ − = 2p
6= − 3p
b) 1 2 3 6x x x+ + = , 1 2 3 6x x x = 2p
1 2 3
1 2 1 3 2 3 1 2 3
1 1 1 6 1
6
x x x
x x x x x x x x x
+ +
+ + = = = 3p
c) f are rădăcinile 1 1x k= − , 2x k= și 3 1x k= + unde 1 2 3 3 2k x x x k k∈ ⇒ + + = ⇒ =ℤ 2p
1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 11x x x x x x m+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ = 3p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_st-nat Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
( )
'' 2 2
2
2
1 1
( )
1
x x x x
f x
x
+ − +
′ = =
+
2p
( )
( )( )
( )
2
2 2
2 2
1 11
1 1
x xx
x x
− +−
= =
+ +
, x ∈ ℝ 3p
b) ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − 2p
( ) 1
1 2
f = , ( )' 1 0f = , deci ecuaţia tangentei este 1
2
y = 3p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = sau 1x = − 2p
( )' 0f x < pentru ( ), 1x ∈ −∞ − , ( )' 0f x > pentru ( )1,1x ∈ − , ( )' 0f x < pentru ( )1,x ∈ +∞ 2p
Punctele de extrem sunt 1x = − și 1x = 1p
2.a)
( )
1 1
0 0
1 1 1
2 3 1
f x dx dx
x x x
 
− − = = 
+ + + 
∫ ∫ 2p
( ) 1
ln 1 ln 2
0
x= + = 3p
b) F este o primitivă a lui ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1
1 2 3
f F x f x
x x x
′′ ′⇒ = = − − −
+ + + 2p
( ) 0F x′′ < pentru orice ( )1,x ∈ − +∞ , deci F este concavă pe ( )1,− +∞ 3p
c)
( ) ( )( )( )( )
0 0
1 1 1 ln 1 2 3
1 2 3 0
n n n
f x dx dx x x x
x x x
 
= = + + = + + + = 
+ + + 
∫ ∫
A 2p
( )( )( )1 2 3
ln 6
n n n+ + +
= 1p
( )( )( )1 1 2 3 24 ln 4n n n n≥ ⇒ + + + ≥ ⇒ ≥
A pentru orice număr natural nenul n 2p