Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2014 – sesiunea specială, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c) – 2 iulie 2014
Matematică M_şt-nat
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi partea reală a numărului complex ( )3 2 1z i= + − .
5p 2. Arătați că 1 2 1 22 23x x x x+ + = ştiind că 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 3 10 0x x− + = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 1x x+ + = .
5p 4. Determinați câte numere naturale impare de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii
{ }1, 2, 3 .
5p 5. Determinaţi numărul real a pentru care dreptele de ecuații ( )1 1y a x= − + și 2 3y x= − sunt
paralele.
5p 6. Determinați raza cercului circumscris triunghiului ABC în care 3AB = , 4AC = și 5BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1
1
x
A x x
 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Calculați ( )( )det 2A .
5p b) Determinaţi numărul real x pentru care ( ) ( ) 2A x A x I⋅ − = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p c) Arătați că ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1 3
det 1 2 4
n n n
A A A n − +
+ + + =⋯ pentru orice număr natural nenul n .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă ( )4 3x y x y xy∗ = + − − .
5p a) Calculaţi 2 4∗ .
5p b) Arătaţi că ( )( )4 4 4x y x y∗ = − − − pentru orice numere reale x şi y .
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x x x x∗ ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ln 1f x x x x= − + .
5p a) Arătați că ( )lim 1
x e
f x
→
= .
5p b) Arătați că ( ) lnf x x′ = , ( )0,x ∈ +∞ .
5p c) Arătați că ( ) 0f x ≥ pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția ( ): 3,f − +∞ → ℝ , ( ) 2
1
8 15
f x x x
= + + .
5p a) Arătați că ( )( ) ( )
2014
0
3 5 2014x x f x dx+ + =∫ .
5p b) Arătați că ( ) ( )
1
1
1
144
f x f x dx
−
′⋅ = −∫ .
5p c) Determinați numărul real a , 0a > ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcției f , axa
Ox și dreptele de ecuații 0x = și x a= , are aria egală cu 1 10
ln
2 9 .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_st-nat Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c) – 2 iulie 2014
Matematică M_şt-nat
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 2 2z i= + − = 3p
5 2i= − , deci partea reală a numărului z este egală cu 5 2p
2. 1 2 3x x+ = , 1 2 10x x = 3p
1 2 1 22 3 2 10 23x x x x+ + = + ⋅ = 2p
3. 2 2
1 1 0x x x x+ + = ⇒ + = 3p
1 1x = − și 2 0x = care verifică ecuația 2p
4. Cifra unităților poate fi aleasă în 2 moduri 2p
Cum cifrele sunt distincte, cifra zecilor poate fi aleasă în 2 moduri, iar cifra sutelor poate fi
aleasă într-un singur mod 2p
Se pot forma 2 2 1 4⋅ ⋅ = numere 1p
5. 1 2a − = 3p
3a = 2p
6.
2
A
π
= 2p
5
2
R = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )( ) 2 1
det 2 2 2 1 1
1 2
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
3= 2p
b)
( ) ( ) 2
2
1 1 1 0
1 1 0 1
x x x
A x A x x x x
 − − +    ⋅ − = =    −   − + 
3p
2
2
1 0 1 0 0
0 10 1
x x
x
 − +  
  = ⇔ =    − + 
2p
c)
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1 2 ... 2
1 2 1 2 ... 1
2
n n n
n n
A A A n n n n n
n
 + 
 + + +   + + + = = 
+ + +  +   
 
⋯ 2p
( )
( )
( ) ( ) ( )( )2
1
1 1 1 32
2 2 41
2
n n n n n n n n n n
n n
n n
n
+
+ + − +
= ⋅ − ⋅ =
+ pentru orice număr natural
nenul n
3p
2.a) ( )2 4 4 2 4 3 2 4∗ = + − − ⋅ = 3p
12 8 4= − = 2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_st-nat Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) 4 4 12 4 4 4 16x y x y xy xy x y∗ = + − − = − + + − = 2p
( ) ( ) ( )( )4 4 4 4 4 4 4x y y x y= − − + − = − − − pentru orice numere reale x şi y 3p
c) ( ) ( )2 3
4 4 4 4x x x x x x x∗ = − − ⇒ ∗ ∗ = + − 2p
( )3
4 4 3x x x− = − ⇒ = sau 4x = sau 5x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )lim lim ln 1
x e x e
f x x x x
→ →
= − + = 2p
ln 1 1e e e= − + = 3p
b) ( ) ( )' 1
ln 1 ln 1f x x x x x x x
′ = − + = + ⋅ − = 3p
ln 1 1 lnx x= + − = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
c) ( )' 1 0f = , ( )' 0f x < pentru ( )0,1x ∈ şi ( )' 0f x > pentru ( )1,x ∈ +∞ 3p
( ) ( ) ( )1 0f x f f x≥ ⇒ ≥ pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
2.a)
( )( ) ( )
2014 2014
0 0
3 5 1x x f x dx dx+ + = =∫ ∫ 2p
2014
0 2014x= = 3p
b)
( ) ( ) ( ) ( )( )
11 2 2 2
11
1 1
( ) 1 1
2 2
f x f x dx f x f f
−−
′⋅ = = − − =∫ 3p
1 1 1 1
2 576 64 144
 
= − = − 
  2p
c)
( ) ( )
( )
( )2
0 0
5 31 1 3 1
ln ln
02 5 2 3 54 1
a a a ax
f x dx dx x ax
++
= = = =
+ ++ −
∫ ∫
A 3p
( )
( )
5 3 10 1
3 5 9
a a
a
+ = ⇒ =
+ 2p