Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2014 – sesiunea specială, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătaţi că ( ) ( )3 2 4 2 1 6 8i i+ + − = .
5p 2. Arătați că parabola asociată funcției :f →ℝ ℝ , 2
( ) 2 1f x x x= + + este tangentă la axa Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 4 4
5 5x x+ = .
5p 4. Determinaţi câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifrele 1, 3, 5 și 7.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 2A − , ( )4, 2B − − şi ( )4,2C . Determinați
ecuația dreptei d care trece prin A și este perpendiculară pe dreapta BC .
5p 6. Arătați că 3
sin cos 0
4 4
π π
+ = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 0 0
0 2 0
0 2 1 1
n
n
A n
 
 
=  
 − 
, unde n este număr natural.
5p a) Arătaţi că ( )( )det 0 1A = .
5p b) Determinaţi numărul natural n știind că ( ) ( ) ( )1 3A n A A⋅ = .
5p c) Determinați numerele naturale p și q știind că ( ) ( ) ( )A p A q A pq⋅ = .
2. Se consideră polinomul 3 2 3 2f X X X= + − + .
5p a) Calculați ( )0f .
5p b) Determinaţi câtul și restul împărţirii polinomului f la 2 4X − .
5p c) Arătați că ( ) ( ) ( )2 22
1 2 2 3 3 1 20x x x x x x− + − + − = știind că 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile lui f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 x
f x x e= + .
5p a) Calculați ( )'f x , x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice spre −∞ la graficul funcţiei f .
5p c) Arătaţi că ( ) 4 1f x x≥ + pentru orice număr real x .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3
2 1
x
f x x x
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
1 2
0
1
1 4
x x f x dx+ + =∫ .
5p b) Arătați că ( )( )
1
0
1 3 3
f x x dx π
− + =∫ .
5p c) Arătați că ( )40 0
1 1
lim 4
t
t f x dx
t→
 
 ⋅ =
 
 
∫ .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 6 12 2 12i i+ + − = 3p
6 2 8= + = 2p
2. 4 4∆ = − = 3p
0= , deci parabola asociată funcției f este tangentă la axa Ox 2p
3. 2 2
4 4 4 4 0x x x x+ = ⇔ − + = 3p
2x = 2p
4. Cifra unităților se poate alege în 4 moduri 3p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în 3 moduri, deci se pot
forma 4 3 12⋅ = numere 2p
5. Panta dreptei BC este 1 2
2
BC dm m= ⇒ = − 2p
: 2 2d y x= − − 3p
6. 2
sin 4 2
π = 2p
3 2 3
cos sin cos 0
4 2 4 4
π
π π
= − ⇒ + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( )
1 0 0
det 0 0 1 0
0 0 1
A = = 2p
1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 3p
b)
( )
1 0 0
1 0 2 0
0 1 1
A
 
 
=  
 
 
, ( ) ( ) 1
1
1 0 0
1 0 2 0
0 2 1 1
n
n
A n A +
+
 
 
⋅ =  
 
− 
3p
( ) 3
3
1 0 0
3 0 2 0
0 2 1 1
A
 
 
=  
 
− 
și ( ) ( ) ( )1 3 2A n A A n⋅ = ⇒ = 2p
c) ( ) ( ) ( )A p A q A p q⋅ = + pentru orice numere naturale p și q 2p
( ) ( ) ( )( )1 1 1 0A p q A pq p q pq p q p q+ = ⇒ + = ⇒ − − = ⇒ = = sau 2p q= = 3p
2.a) ( ) 3 2
0 0 0 3 0 2f = + − ⋅ + = 3p
2= 2p
b) Câtul este 1X + 3p
Restul este 6X + 2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3 1x x x+ + = − , 1 2 2 3 1 3 3x x x x x x+ + = − 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 12 6 20x x x x x x x x x x x x x x x− + − + − = + + − + + = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )''
' 3 x
f x x e= + = 2p
3 x
e= + , x ∈ ℝ 3p
b) ( ) 3
lim lim 3
x
x x
f x x e
x x→−∞ →−∞
+
= = 2p
( )( )lim 3 lim 0x
x x
f x x e
→−∞ →−∞
− = = , deci dreapta de ecuație 3y x= este asimptotă oblică spre
−∞ la graficul funcţiei f
3p
c) ( )' 0 0g = , ( )' 0g x < pentru orice ( ),0x ∈ −∞ și ( )' 0g x > pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , unde
:g →ℝ ℝ , ( ) ( ) 4 1 1x
g x f x x e x= − − = − − 3p
( ) ( ) ( )0 0 ( ) 4 1g x g g x f x x≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ + pentru orice număr real x 2p
2.a)
( ) ( )
1 1
2 3
0 0
1x x f x dx x dx+ + = =∫ ∫ 2p
4 1 1
4 40
x
= = 3p
b)
( )( )
1 1 1 1
2 2 00 0 0
1 1 2 2 1
1 arctg
3 31 1 3
2 4
x
f x x dx dx dx
x x x
+
− + = = = =
+ +  
+ + 
 
∫ ∫ ∫ 3p
2 1 2
arctg 3 arctg 3 63 3 3 3 3
  π π π 
= − = − =   
   2p
c)
( ) ( )
4 30 0
0
1
lim lim 4
t
t t
f t
f x dx
t t→ →
 
 ⋅ = =
 
 
∫ 3p
( )
3
3 20
1
lim 44 1t
t
t t t→
= =
+ + 2p