Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2014 – sesiunea specială, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi partea reală a numărului complex 2
1 2 3z i i= + + .
5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x x= −
și :g →ℝ ℝ , ( ) 3 5g x x= − .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 2
3 3x x x− = .
5p 4. Determinaţi câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifrele 0, 1, 2 și 3.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră vectorii 3 2AB i j= +
   şi ( )1 4AC m i j= + +
   , unde m este
număr real. Determinaţi numărul real m știind că 2AC AB=
  .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 3AB AC= = și 3 2BC = . Determinați cosC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2
1 0 0
1 0
2 2 4 1
A x x
x x x
 
 
=  
 − 
, unde x este număr real.
5p a) Arătaţi că ( )( )det 0 1A = .
5p b) Arătaţi că ( ) ( ) ( )A x y A x A y+ = ⋅ pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale x știind că ( ) ( ) ( ) ( )2 2A x A x A x A x+ = ⋅ ⋅ .
2. Se consideră polinomul 3 2
3 2f X X aX= − + − , unde a este număr real.
5p a) Arătaţi că ( ) ( )2 2 3f a= − .
5p b) Determinaţi numărul real a ştiind că polinomul f este divizibil prin 2 1X X− + .
5p c) Pentru 3a = , rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2 0x
f = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 2,f − +∞ → ℝ , ( ) 2
x
x e
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )
2
2
2 2
'
2
x
x x e
f x
x
+ +
=
+
, ( )2,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 0x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Arătaţi că ecuaţia ( ) 1f x = are cel puțin o soluţie în intervalul ( )1, 2 .
2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul
1
0 1
n
n n
x
I dx
x
= +
∫ .
5p a) Arătați că 1 1 ln 2I = − .
5p b) Arătaţi că 1n nI I+ ≤ pentru orice număr natural nenul n .
5p c) Demonstraţi că lim 0n
n I
→+∞ = .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2z i= − + 2p
Partea reală a numărului z este egală cu 2− 3p
2. ( ) ( ) 1 3 5f x g x x x= ⇔ − = − 3p
2x = și 1y = 2p
3. 2 2
2 3 0x x x x x− = ⇔ − = 3p
1 0x = și 2 3x = 2p
4. Cifra unităților poate fi 0 sau 2 2p
Cifra zecilor poate fi aleasă în câte 3 moduri, deci se pot forma 3 2 6⋅ = numere 3p
5. ( ) ( )1 4 2 3 2m i j i j+ + = +

 
 
 

2p
5m = 3p
6. ABC∆ este dreptunghic isoscel 3p
2
cos 2
C = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) 1 0 0
det 0 0 1 0
0 0 1
A = = 2p
1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 3p
b)
( )
( ) ( ) ( )2
1 0 0
1 0
2 2 4 1
A x y x y
x y x y x y
 
 
+ = + 
 + − + + 
2p
( ) ( ) ( )
2 2
1 0 0
1 0
2 4 2 2 2 4 4 1
A x A y x y A x y
x xy y x y x y
 
 
⋅ = + = + 
 
+ + − − + 
pentru orice numere
reale x și y
3p
c) ( ) ( ) ( ) ( )3A x A x A x A x⋅ ⋅ = 2p
2 12 3 1x x x+ = ⇒ = și 2 2x = 3p
2.a) ( ) 3 2
2 2 3 2 2 2f a= − ⋅ + ⋅ − = 2p
( )2 6 2 3a a= − = − 3p
b) ( )( ) ( )2
2 1 3f X X X a X= − − + + − 3p
3a = 2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c) ( )( )2
2 1f X X X= − − + 2p
( )( )2
2 2 2 2 1 0 1x x x x− − + = ⇔ = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
' 2 2 '
'
2
x x
xe x xe x
f x
x
⋅ + − ⋅ +
= =
+
2p
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2 2
2 2
x x x x
e xe x xe x x e
x x
+ ⋅ + − + +
= =
+ +
, ( )2,x ∈ − +∞ 3p
b) ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − 2p
( )0 0f = , ( ) 1
' 0 2
f = , deci ecuaţia tangentei este 1
2
y x= 3p
c) Funcţia [ ]: 1, 2g → ℝ , ( ) ( ) 1g x f x= − este continuă pe [ ]1, 2 2p
( ) ( ) 2
3 2
1 2 0
3 2
e e
g g − −
⋅ = ⋅ < , deci există ( )1, 2c ∈ astfel încât ( ) 0g c = , adică ( ) 1f c = 3p
2.a) 1 1
1
0 0
1
1
1 1
x
I dx dx
x x
 
= = − = 
+ + 
∫ ∫ 2p
( )
1 1
ln 1 1 ln 2
0 0
x x= − + = − 3p
b) ( )
( )( )
1 1
1 1 1
0 0
11
1 1 1 1
n
n
n n n n n n
x xx
I I x dx dx
x x x x
+ + +
− 
− = − = 
+ +  + +
∫ ∫ 2p
Pentru orice [ ]0,1x ∈ avem 1 0x − ≤ , 0n
x ≥ , 1 0n
x+ > și 1
1 0n
x +
+ > , deci 1 0n nI I+ − ≤ 3p
c) Pentru orice [ ]0,1x ∈ şi orice *n ∈ ℕ avem 0 1
n n
n
x x
x
≤ ≤
+
2p
1 1
0 0
1
0 0 11
n n nn
x dx x dx I nx
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ++
∫ ∫ , deci lim 0n
n I
→+∞ = 3p