Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2014 – sesiunea specială, varianta 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c) – 2 iulie 2014
Matematică M_mate-info
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi numărul real x știind că numerele 2 , 4 și 5x + sunt termeni consecutivi ai unei
progresii geometrice.
5p 2. Arătați că parabola asociată funcţiei :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x x= + + este situată deasupra axei Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 2 1 2x − = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să
aibă suma cifrelor egală cu 7.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,4A − și ( )1, 2B . Determinați lungimea vectorului
OM
 , unde punctul M este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Știind că 0, 2
x
π ∈ 
  și 3
cos 2
x = , calculați sin 2x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 2 0
0 4 1 0
0 3 1
x
A x x
x
 
 
= + 
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 1A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )· 4A x A y A x y xy= + + pentru orice numere reale x şi y .
5p c) Determinaţi numerele reale x , 1
4
x ≠ − , pentru care matricea ( )A x este egală cu inversa ei.
2. Se consideră polinomul 3 2 4 2f X X X a= + − + , unde a este număr real.
5p a) Calculați ( )0f .
5p b) Determinaţi numărul real a ştiind că 1 i+ este rădăcină a polinomului f .
5p c) Pentru 3a = , arătați că 3 3
1 3
3
2 31x x x+ + = − , unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 2,f +∞ → ℝ , ( ) 2
2
= −
x
f x x .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )2
4
'
2
x x
f x
x
−
=
−
, ( )2,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0 4=x , situat pe
graficul funcției f .
5p c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției f .
2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul
1
3
0 1
= +
∫ n
n
x
I dx
x .
5p a) Arătați că 2
1 ln 2
3
=I .
5p b) Arătați că 3
1
1
+ + = +
n nI I n pentru orice număr natural nenul n .
5p c) Calculați lim n
n I
→+∞
.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c) – 2 iulie 2014
Matematică M_mate-info
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) 2
2 5 4x⋅ + = 2p
3x = 3p
2. 1 16 15∆ = − = − 2p
1 0a = > și 0∆ < ⇒ parabola asociată funcţiei f este situată deasupra axei Ox 3p
3. 2 2
1 8 9 0x x− = ⇔ − = 3p
1 3x = − și 2 3x = 2p
4. Sunt 7 numere de două cifre care au suma cifrelor egală cu 7, deci sunt 7 cazuri favorabile 2p
Sunt 90 de numere de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 7
nr. cazuri posibile 90
p = = 2p
5. ( )0,3M 2p
3OM = 3p
6.
6
x
π
= 2p
3
sin 2 sin 3 2
x
π
= = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) 1 0 0
det 0 0 1 0
0 0 1
A = = 2p
1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 3p
b)
( ) ( )
1 2 0 1 2 0 1 2 2 8 0
0 4 1 0 0 4 1 0 0 4 4 16 1 0
0 3 1 0 3 1 0 3 3 12 1
x y x y xy
A x A y x y x y xy
x y x y xy
+ +     
     
⋅ = + ⋅ + = + + +     
     + +     
3p
( )
( )
( )
( )
1 2 4 0
0 4 4 1 0 4
0 3 4 1
x y xy
x y xy A x y xy
x y xy
 + +
 
= + + + = + + 
 + + 
pentru orice numere reale x şi y 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
3 2 4 0 2 4 0A x xA x A x xAI x⋅ = ⇒ ⇒ += =+ 3p
1 0x = și 2
1
2
x = − 2p
2.a) ( ) 3 2
0 0 0 4 0 2f a= + − ⋅ + = 2p
2a= 3p
b) 1 21 1x i x i= + ⇒ = − 1p
1 2 3 31 3x x x x+ + = − ⇒ = − 2p
1 2 3 2 3x x x a a= − ⇒ = 2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c) ( ) ( ) ( )1 2 3
3 3 33 3 3 1 1 3x i ix x = + + − + −+ + = 3p
( ) ( )2 2 2 2 27 31i i= − + − − − = − 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
' '2 2
2
2 2
2
x x x x
f x
x
⋅ − − ⋅ −
′ = =
−
2p
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2 4
2 2
x x x x x
x x
− − −
= =
− −
, ( )2,x ∈ +∞ 3p
b) ( ) ( )( )4 ' 4 4y f f x− = − 2p
( )4 8f = , ( )' 4 0f = , deci ecuaţia tangentei este 8y = 3p
c) ( ) 0 4f x x′ = ⇔ = 1p
( )' 0f x ≤ pentru orice ( ]2, 4x f∈ ⇒ este descrescătoare pe ( ]2, 4 2p
( )' 0f x ≥ pentru orice [ )4,x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ )4, +∞ 2p
2.a) 1 12 2
2 3 3
0 0
1 3
31 1
x x
I dx dx
x x
= = =
+ +
∫ ∫ 2p
( )3 11 1
ln 1 ln 2
03 3
x= + = 3p
b) ( )31 1 13
3 3 3 3
0 0 0
1
1 1 1
nn n
n n
x xx x
I I dx dx dx
x x x
+
+
+
+ = + = =
+ + +
∫ ∫ ∫ 3p
1 1
0
1
01
n
n x
x dx n
+
= = +∫ 1
1n
= + pentru orice număr natural nenul n 2p
c) Pentru orice n ∗
∈ ℕ și [ ]0,1x ∈ avem 3
0, 1 0 0n nx x I≥ + > ⇒ ≥ 2p
3 0nI + ≥ și 3
1 1
0 lim 0
1 1
n n n n
n
I I I I
n n
+ →+∞
+ = ⇒ ≤ ≤ ⇒ =
+ + 3p