Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2014 – sesiunea specială, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 1z i= + . Calculați 2
z .
5p 2. Arătați că parabola asociată funcției :f →ℝ ℝ , 2
( ) 4 6f x x x= − + nu intersectează axa Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )2 2log 2 3 log 1x x− = + .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să fie impar.
5p 5. În triunghiul ABC punctele ,M N și P sunt mijloacele laturilor ,AB BC și, respectiv, AC .
Arătați că 0AM BN CP+ + =
    .
5p 6. Știind că tg 3a = și a ∈ ℝ , arătați că sin cos 2 3
cos sin
a a
a a
− = −
+ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1 1
1 2
1 2
A a a
a
 
 
=  
 
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 1A = − .
5p b) Determinaţi numerele reale m știind că ( )( )det 0A m = .
5p c) Determinaţi numerele reale a astfel încât ( ) ( ) ( )2
2 1 1
1 5 5
1 5 5
A a A a A a
 
 
⋅ − = − 
 − 
.
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 3 3 6x y x y xy∗ = + − − .
5p a) Calculaţi 1 3∗ .
5p b) Arătaţi că ( )( )3 3 3x y x y∗ = − − − pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinaţi numerele reale x pentru care
de 2014 ori
...
x
x x x x∗ ∗ ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția : →ℝ ℝf , ( ) 2
2
4 5
−
= − +
x
f x x x .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
( )22
1 3
'
4 5
x x
f x
x x
− −
=
− +
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f .
5p c) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f .
2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul
1
ln
e n
nI x x dx= ∫ .
5p a) Arătați că
2
1
1
4
e
I +
= .
5p b) Arătați că 1n nI I+ ≤ pentru orice număr natural nenul n .
5p c) Demonstraţi că ( ) 2
12 1n nI n I e+ + + = pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )22 2
1 1 2z i i i= + = + + = 2p
2i= 3p
2. 16 24 8∆ = − = − 3p
0∆ < , deci parabola asociată funcției f nu intersectează axa Ox 2p
3. 2 3 1x x− = + 2p
4x = care verifică ecuația 3p
4. Sunt 45 de numere impare de două cifre, deci sunt 45 de cazuri favorabile 2p
Sunt 90 de numere de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 45 1
nr. cazuri posibile 90 2
p = = = 2p
5. 1 1 1
2 2 2
AM BN CP AB BC CA+ + = + + =




 


 


 


 


 


 2p
( )1 0
2 AB BC CA= + + =



 


 


  3p
6. sin
cos 1
cos tg 1sin cos
cos sin 1 tgsin
cos 1 cos
a
a a aa a
a a aa
a a
 −  −−  = = =
+ + + 
 
3p
3 1 2 3
1 3
−
= = −
+ 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) 1 1 1
det 1 1 1 2
1 2 1
A = = 2p
1 2 2 1 4 1 1= + + − − − = − 3p
b)
( )( ) 2
1 1 1
det 1 2 2
1 2
A m m m m
m
= = − 3p
2 12 0 0m m m− = ⇔ = și 2 2m = 2p
c)
( ) ( ) 2
2
3 3 3
3 5 4 1
3 4 1 5
a a
A a A a a a a
a a a
+ + 
 ⋅ = + + + 
 + + + 
, ( )2 2
2
1 1 1
1 2
1 2
A a a
a
 
 =  
 
 
3p
2 2 2 2 1 1
2 5 4 1 1 5 5 1
2 4 1 5 1 5 5
a a
a a a
a a
+ +   
   + − = − ⇔ = −
   + − −   
2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) 1 3 3 1 3 3 1 3 6∗ = ⋅ + ⋅ − ⋅ − = 3p
3= 2p
b) 3 3 3 9x y xy x y∗ = − + + − = 2p
( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 3 3 3x y y x y= − − + − = − − − pentru orice numere reale x și y 3p
c) ( )2014
3 3x x− − = 3p
1 3x = și 2 2x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
2 2
22
2 4 5 2 4 5
4 5
x x x x x x
f x
x x
′′− − + − − − +
′ = =
− +
2p
( )
( )( )
( )
2
2 22 2
1 34 3
4 5 4 5
x xx x
x x x x
− −− + −
= =
− + − +
, x ∈ ℝ 3p
b) ( ) 2
2
lim lim 0
4 5x x
x
f x x x→+∞ →+∞
−
= =
− + 3p
Dreapta de ecuaţie 0y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcţiei f 2p
c) ( ) 10 1f x x′ = ⇔ = și 2 3x = 2p
( )' 0f x ≤ pentru orice ( ],1x f∈ −∞ ⇒ este descrescătoare pe ( ],1−∞ 1p
( )' 0f x ≥ pentru orice [ ]1,3x f∈ ⇒ este crescătoare pe [ ]1,3 1p
( )' 0f x ≤ pentru orice [ )3,x f∈ +∞ ⇒ este descrescătoare pe [ )3, +∞ 1p
2.a) 2
1
1 1
1
ln ln 12 2
e e
ex
I x x dx x x dx= = − =∫ ∫ 3p
2 2 2
1 1
2 4 4 4
e e e +
= − + = 2p
b)
( )1
1
ln 1 ln
e n
n nI I x x x dx+ − = −∫ 2p
Pentru orice n ∗
∈ ℕ și [ ]1x ,e∈ avem ln 0x ≥ și 1ln 1 0 n nx I I+− ≤ ⇒ ≤ 3p
c)
( )
2 2
1 1
1
1 1
1
ln ln 1 ln
12 2
e e
n n n
n
ex x
I x x dx x n x dx
x
+ +
+ = = − ⋅ + =∫ ∫ 3p
( )
2 2
1
1
1 ln 2 1
2 2
e n n n
e n x x dx I n I e+
+
= − ⇒ + + =∫ pentru orice număr natural nenul n 2p