Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2014 – sesiunea specială, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c) – 2 iulie 2014
Matematică M_mate-info
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ știind că 1 6a = și 2 12a = .
5p 2. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 4f x x x= + + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )( )3 1 3 3 0x x
− − = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să conțină cifra 1.
5p 5. Se consideră triunghiul echilateral ABC cu 2AB = . Calculați lungimea vectorului AB BC+
  .
5p 6. Calculați aria triunghiului isoscel ABC știind că 2
A
π
= și 4AC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2
2 2
2
a a
A a a
a a
 
 =  
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătaţi că ( )( )det 0 8A = .
5p b) Determinaţi numerele reale a pentru care ( )( )det 0A a = .
5p c) Determinați matricea
x
X y
z
 
 =  
 
știind că ( ) 4
1 5
4
A X
 
 ⋅ =  
 
.
2. Se consideră 1 2 3, ,x x x rădăcinile polinomului 3 2
2 3f X X X m= − + + , unde m este număr real.
5p a) Calculați ( )1f .
5p b) Arătaţi că 2 2 2
1 2 3 2x x x+ + = − .
5p c) Determinați numărul real m știind că 3 3 3
1 2 3 8x x x+ + = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ln
( ) x
f x x
= .
5p a) Arătaţi că ( ) 2
1 ln x
f x x
−
′ = , ( )0x ,∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Arătaţi că ( ) 1
f x e
≤ pentru orice ( )0x ,∈ +∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x x= + + .
5p a) Arătaţi că ( )
1
0
11
6
f x dx =∫ .
5p b) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul ( )
1
0
n
n
x
I dx
f x
= ∫ . Arătaţi că 1n nI I+ ≤
pentru orice număr natural nenul n .
5p c) Determinaţi numărul real pozitiv a ştiind că ( )0
2 1 ln 3
a x dx
f x
+ =∫ .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c) – 2 iulie 2014
Matematică M_mate-info
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 18a = 2p
1 2 3 36a a a+ + = 3p
2. 1Vx = − 2p
3Vy = 3p
3. 3 1x = sau 3 3x = 2p
0x = sau 1x = 3p
4. Sunt 18 numere de două cifre care conțin cifra 1, deci sunt 18 cazuri favorabile 2p
Sunt 90 de numere de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 18 1
nr. cazuri posibile 90 5
p = = = 2p
5. AB BC AC+ =



 


 


 2p
ABC∆ echilateral 2AC⇒ = 3p
6. ABC∆ dreptunghic isoscel 4AB⇒ = 2p
4 4 8
2
ABC∆
⋅
= =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) 2 0 0
det 0 0 2 2
0 0 2
A = = 2p
8 0 0 0 0 0 8= + + − − − = 3p
b)
( )( ) ( ) ( )2
2
det 2 2 2 2
2
a a
A a a a a
a a
= = − + 3p
( ) ( )2
2 2 0 2a a a− + = ⇔ = − sau 2a = 2p
c) 2 1 1 4 2 4
1 2 2 5 2 2 5
1 1 2 4 2 4
x x y z
y x y z
z x y z
+ + =      
     ⋅ = ⇒ + + =     
       + + =      
2p
1
1
1
X
 
 =  
 
 
3p
2.a) ( ) 3 2
1 1 2 1 3 1f m= − ⋅ + ⋅ + = 2p
2m= + 3p
b) 1 2 3 2x x x+ + = , 1 2 1 3 2 3 3x x x x x x+ + = 2p
( ) ( )22 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32 2 2 3 2x x x x x x x x x x x x+ + = + + − + + = − ⋅ = − 3p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c) ( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 32 3 3 0x x x x x x x x x m+ + − + + + + + + = 2p
3 3 3
1 2 3 3 10 6x x x m m+ + = − − ⇒ = − 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) 2
ln lnx ' x x x'
f x x
⋅ − ⋅
′ = = 2p
2 2
1 ln 1 ln
x x xx
x x
⋅ − −
= = , ( )0x ,∈ + ∞ 3p
b) ( ) ln 1
lim lim lim 0
x x x
x
f x x x→+∞ → +∞ → +∞
= = = 3p
Dreapta de ecuaţie 0y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcţiei f 2p
c) ( ) 0f e′ = , ( ) 0f x′ > pentru orice ( )0x ,e∈ și ( ) 0f x′ < pentru orice ( )x e,∈ + ∞ 3p
( ) ( ) ( ) 1
f x f e f x e
≤ ⇒ ≤ pentru orice ( )0x ,∈ + ∞ 2p
2.a)
( ) ( )
1 1 3 2
2
0 0
1
1 3 2 0
x x
f x dx x x dx x
 
= + + = + + =  
 
∫ ∫ 3p
1 1 11
1
3 2 6
= + + = 2p
b) ( )1
1 2
0
1
1
n
n n
x x
I I dx
x x
+
−
− = + +
∫ pentru orice număr natural nenul n 2p
Pentru orice n ∗
∈ ℕ și [ ]0 1x ,∈ avem 0 1 0n
x , x≥ − ≤ și 2 11 0 n nx x I I++ + > ⇒ ≤ 3p
c)
( ) ( )( ) ( )2 2
2 0
0 0
2 1 2 1 ln 1 ln 1
1
a a ax x
dx dx x x a a
f x x x
+ +
= = + + = + +
+ +
∫ ∫ 3p
( )2 2
ln 1 ln 3 1 3a a a a+ + = ⇔ + + = care are soluția pozitivă 1a = 2p