Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2014 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru elevii clasei a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Simulare pentru elevii clasei a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați conjugatul numărului complex 2 3 4 5 6
1z i i i i i i= + + + + + + .
5p 2. Determinați valoarea maximă a funcţiei :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4 5f x x x= − + − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2
3 3x x− + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să aibă cifrele distincte.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,3A , ( )4,0B și ( )2,0C . Determinaţi aria
triunghiului ABC .
5p 6. Arătați că ( ) ( )2 2
sin cos sin cos 2x x x x+ + − = pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( ) 2 2
1 1 1
, 1
1
D a b a b
a b
= , unde a și b sunt numere reale.
5p a) Calculați ( )1,0D .
5p b) Arătați că ( ) ( )( )( ), 1 1D a b a b b a= − − − pentru orice numere reale a și b .
5p c) Demonstraţi că numărul ( ),D m n este par pentru orice numere întregi m și n .
2. Se consideră inelul ( )6 , ,+ ⋅ℤ , unde ɵ ɵ
{ }6 0, 1, 2, 3, 4, 5= ɵ ɵ ɵ ɵℤ .
5p a) Rezolvaţi în 6ℤ ecuaţia ɵ3 2 5x + =ɵ ɵ .
5p b) Determinați mulțimea valorilor funcției 6 6:f →ℤ ℤ , ( ) 3
f x x x= − .
5p c) Determinaţi numărul elementelor mulţimii { }10
6|H x x= ∈ ℤ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f + ∞ → ℝ , 1
( ) lnf x x
x
= + .
5p a) Calculați ( ) ( )
2
2
lim 2x
f x f
x→
−
− .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstraţi că ( ) 1f x ≥ pentru orice ( )0,x ∈ + ∞ .
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 2
1
x
f x x
= + .
5p a) Calculaţi ( ) ( )
1
0
1x f x dx+∫ .
5p b) Calculați ( ) ( )
1
1 ln
e
x f x x dx+∫ .
5p c) Arătați că ( ) 2 4 7
1 2
e e
F e − +
− = , unde ( ): 1,F − +∞ → ℝ este primitiva funcției f pentru care
( )0 1F = .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru elevii clasei a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Simulare pentru elevii clasei a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 1 1z i i i= + − − + + − = 3p
i z i= ⇒ = − 2p
2. 4∆ = − 2p
Valoarea maximă a funcției f este 1
4a
∆
− = − 3p
3. 2 2 2
3 3 9 6 3x x x x x− = + ⇒ − + = + 3p
1x = , care verifică ecuația 2p
4. Sunt 81 de numere naturale de două cifre care au cifrele distincte, deci sunt 81 de cazuri
favorabile 2p
Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 81 9
nr. cazuri posibile 90 10
p = = = 2p
5. 3, 2AC BC= = și ( ) 90m C = °∢ 3p
3
2
ABC
AC BC
∆
⋅
= =
A 2p
6. ( )2
sin cos 1 2sin cosx x x x+ = + 2p
( ) ( ) ( )2 2 2
sin cos 1 2sin cos sin cos sin cos 2x x x x x x x x− = − ⇒ + + − = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
1 1 1
1,0 1 1 0
1 1 0
D = = 2p
0= 3p
b)
( ) 2 2
1 0 0
, 1 1 1
1 1 1
D a b a b
a b
= − − =
− −
2p
( )( ) ( )( )( )
1 0 0
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
a b a b b a
a b
= − − = − − −
+ +
, pentru orice numere reale a și b 3p
c) ( ) ( )( )( ), 1 1D m n m n n m= − − − 1p
m şi n au aceeași paritate n m⇒ − este număr par, deci ( ),D m n este par 2p
m şi n au parități diferite 1m⇒ − și 1n − au parități diferite ( )( )1 1m n⇒ − − este număr par,
deci ( ),D a b este par 2p
2.a) 3 3x =ɵ ɵ 2p
1 1x = ɵ , 2 3x = ɵ , 3 5x = ɵ 3p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru elevii clasei a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) ɵ ɵ ɵ ɵ3 3 3 3 3 3
0 0, 1 1, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5= = = = = =ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ 3p
Deci { }Im 0f = ɵ 2p
c) 3 10 2
x x x x= ⇒ = , pentru orice 6x ∈ℤ 2p
{ } ɵ
{ }2
6| 0, 1, 3, 4H x x= ∈ = ɵ ɵ ɵℤ , deci mulțimea H are 4 elemente 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
2
1 1
( )f x xx
′ = − + , (0, )x ∈ +∞ 2p
2
( ) (2) 1
lim (2)
2 4x
f x f f
x→
− ′= =
− 3p
b) ( )1 1f = , ( )1 0f ′ = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 1 1 1y f f x y′− = − ⇒ = 3p
c) ( )(0,1] ' 0x f x∈ ⇒ ≤ , deci f este descrescătoare pe (0,1] 2p
( )[1, ) ' 0x f x∈ +∞ ⇒ ≥ , deci f este crescătoare pe [1, )+∞ 2p
( ) (1) ( ) 1f x f f x≥ ⇒ ≥ pentru orice (0, )x ∈ +∞ 1p
2.a) 1 1 2
0 0
( 1) ( )x f x dx x dx+ = =∫ ∫ 2p
3 1
0
1
3 3
x
= = 3p
b)
( ) ( ) 2
1 1
1 ln ln
e e
x f x x dx x x dx+ = =∫ ∫ 2p
3 2 3
11
2 1
ln
3 3 9
e e
x x e
x dx
  +
= ⋅ − =  
  ∫ 3p
c)
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
1 ln 1 ln 1
1 1 2 2
x x x
dx x dx x x F x x x c
x x
 
= − + = − + + + ⇒ = − + + + 
+ + 
∫ ∫
C 3p
( )0 1 1F c= ⇒ = 1p
( ) 2 4 7
1 2
e e
F e − +
− = 1p