Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2014 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Simulare pentru elevii clasei a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numerele reale a și b , știind că 1
1
i a ib
i
+ = +
− şi 2 1i = − .
5p 2. Determinaţi coordonatele punctelor de intersecție cu axele de coordonate a graficului funcţiei
:f →ℝ ℝ , ( ) 2 6 8f x x x= − + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia
2 129 3 36
x x
+ +
+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să nu conțină cifra 6.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,2A − , ( )2,3B și ( )0, 2C − . Determinați ecuația
paralelei duse prin C la AB .
5p 6. Determinați ( )0, 2
x
π∈ pentru care 1 sin 1 cos
sin cos
x x
x x
+ += .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1 1
1 1
1 1
a
A a a
a
 
 =  
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătaţi că ( )( ) ( )( )2
det 2 1A a a a= + − , pentru orice număr real a .
5p b) Calculați inversa matricei ( )1A − în ( )3 ℝ
M .
5p c) Determinați perechile de numere naturale ( ),a b pentru care matricea ( ) ( )A a A b⋅ are suma
elementelor egală cu 24.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 3 3 4x y xy x y∗ = − − + . Legea
„ ”∗ este asociativă și are element neutru.
5p a) Arătați că ( )( )3 1 1 1x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Calculați 1 2 3 2014...
1007 1007 1007 1007
∗ ∗ ∗ ∗ .
5p c) Determinaţi numerele reale x care sunt egale cu simetricele lor față de legea „ ”∗ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f +∞ → ℝ , 2 2( ) 1
xf x x
+= − .
5p a) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice la graficul funcţiei f .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 2x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Calculați ( ) 3
lim
x
x
f x
x
+
→+∞
 
 
 
.
2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul
1
0 1
n
n xI dx
x
= +∫ .
5p a) Calculaţi 1I .
5p b) Arătaţi că 1 1
1n nI I n+ + = + , pentru orice număr natural nenul n .
5p c) Arătați că 1lim ( 1) 2n
n
n I
→+∞
+ = .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Simulare pentru elevii clasei a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1
1
i i a ib i
i
+ = ⇒ + =
− 3p
0, 1a b= = 2p
2. ( ) ( ) ( ){ }2 1 20 6 8 0 2, 4 2,0 , 4,0ff x x x x x G Ox= ⇒ − + = ⇒ = = ⇒ ∩ = 3p
( ) ( ){ }0 8 0,8ff G Oy= ⇒ ∩ = 2p
3. 2 1 1
3 3 36 3 9x x x+ + +
+ = ⇔ = 2p
1 2 1x x+ = ⇔ = 3p
4. Sunt 72 de numere naturale de două cifre care nu conțin cifra 6, deci sunt 72 de cazuri
favorabile 2p
Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
nr. cazuri favorabile 72 4
nr. cazuri posibile 90 5
p = = = 2p
5. 1
3
ABm = , 1
3
dd AB m⇒ =
 , unde d este paralela prin C la AB 3p
1
: 2
3
d y x= − 2p
6. cos sin cos sin sin cos cos sinx x x x x x x x+ = + ⇔ = 2p
4
x
π
= 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) ( )
1 1 2 1 1 1 0 0
det 1 1 2 1 2 1 1 0
1 1 2 1 1 0 1
a a
A a a a a a a
a a a a
+
= = + = + − =
+ −
3p
( ) ( )( )21 0
2 2 1
0 1
a
a a a
a
−
= + = + −
− 2p
b) ( )( )det 1 4A − = 2p
Inversa matricei ( )1A − este
1 1
0 2 2
1 1
0
2 2
1 1 0
2 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c)
( ) ( )
2 1 1
1 2 1
1 1 2
ab a b a b
A a A b a b ab a b
a b a b ab
+ + + + + 
 
⋅ = + + + + + 
 + + + + + 
2p
( )( )3 6 6 12 24 2 2 8ab a b a b+ + + = ⇒ + + = 1p
Perechile de numere naturale care verifică cerința sunt ( )0,2 și ( )2,0 2p
2.a) ( )3 3 3 4 3 1 1xy x y xy x y− − + = − − + + = 3p
( )( )3 1 1 1x y= − − + , pentru orice numere reale x și y 2p
b) 1 1 1x x∗ = ∗ = , pentru orice număr real x 2p
1 2 3 2014 1 1006 1007 1008 2014... ... ... 1
1007 1007 1007 1007 1007 1007 1007 1007 1007
   ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =   
    3p
c) Elementul neutru este 4
3 1p
( ) ( )2 24 4 13 1 1 1
3 3 9
x x x x∗ = ⇔ − + = ⇔ − = 2p
1 2
3
x = , 2 4
3
x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
lim 1
x
f x
x→+∞
= 2p
( )lim ( ) 1
x
f x x
→+∞
− = ⇒ dreapta 1y x= + este asimptotă oblică spre +∞ la graficul funcţiei f 3p
b) ( )2 6f = , ( )2 2f ′ = − 3p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )2 2 2 2 10y f f x y x′− = − ⇒ = − + 2p
c)
( )
( )2 2
2 3
3 32 2
2 2
2 2lim lim lim 1
x x
x x x xx x x
x x x
f x x x
x x x x x
+ ⋅ +
− −+ + +
→+∞ →+∞ →+∞
 
      + += = + =      
− −     
 
3p
2
2
5 6
lim
x
x x
x xe e→+∞
+ +
−= = 2p
2.a) 1 1
1
0 0
11
1 1
xI dx dx
x x
 = = − = 
+ + ∫ ∫ 2p
1 ln 2= − 3p
b) 1 1 11
1
0 0 0
( 1)
1 1 1
n n n
n n
x x x x
I I dx dx dx
x x x
+
+
+
+ = + = =
+ + +∫ ∫ ∫ 3p
11
0
1
1 1
n
x
n n
+
= =
+ + , pentru orice număr natural nenul n 2p
c) ( )1
1
0
1 0
1
n
n n
x x
I I dx
x
+
−
− = ≤
+∫ , pentru orice număr natural nenul n 1p
1
1
2 2
1
n nI I
n
+ ≤ ≤
+ , pentru orice număr natural nenul n 2p
( )
1 1
1
2 2
n
n
n I n
+
≤ + ≤ , pentru orice număr natural n , 2n ≥ 1p
1lim ( 1) 2
n
n
n I
→+∞
+ = 1p