Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2014 – clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Simulare pentru elevii clasei a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați z z+ , știind că 3 4z i= + și z este conjugatul numărului complex z .
5p 2. Determinați numărul real pozitiv m pentru care dreapta 2x = este axă de simetrie a graficului
funcţiei :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 2
2 1 3f x x m x= − − + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2 2log 2 1 2logx x− = .
5p 4. Determinaţi câte numere naturale abc , cu ,a b şi c nenule, au suma cifrelor egală cu 5 .
5p 5. Se consideră triunghiul ABC şi punctul D astfel încât 0DB DC+ =
   . Determinaţi numărul real p
pentru care ( )AD p AB AC= +
   .
5p 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că 6AC = şi 4
cos 5
B = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( ) 2 2
1 1 1
, 2
1 1 5
D x y x y
x y
=
+ +
, unde x și y sunt numere reale.
5p a) Calculați ( )1, 1D − .
5p b) Arătați că ( ) ( )( )( ), 2 2D x y x y y x= − − − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( )2 , 4 0x x
D = .
2. Se consideră matricea ( ) 1 1
1 1
1 1
x
A x x
x
 
 =  
 
, unde x este număr real.
5p a) Calculați ( ) ( )1 2A A− − .
5p b) Demonstraţi că ( )A n este inversabilă pentru orice număr natural n , 1n ≠ .
5p c) Determinaţi inversa matricei ( )0A .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră şirul de numere reale ( ) 1n n
a ≥ , 2
1
n
n
a n
+
= .
5p a) Arătați că 1 1n
n
a
a
+ < pentru orice număr natural nenul n .
5p b) Demonstraţi că şirul ( ) 1n n
a ≥ este mărginit.
5p c) Calculaţi ( ) 2 2
lim n
n
n
na +
→+∞
.
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( )
2 , 2
0, 2
, 2
2 1
x a x
f x x
x b x
x
 + <

= = − >
 +
, unde a și b sunt numere reale.
5p a) Determinaţi ecuația asimptotei spre +∞ la graficul funcției f .
5p b) Determinaţi numerele reale a și b pentru care funcţia f este continuă pe ℝ .
5p c) Pentru 2b = , rezolvaţi în mulţimea ( )2, + ∞ inecuaţia ( )( )( )7 1 2 16 0x
f x⋅ − − ≤ .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2014
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Simulare pentru elevii clasei a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 4z i= − 2p
6z z+ = 3p
2. 2 21 2 9 0
4
m m
− = ⇒ − = 3p
3m = − nu convine, 3m = convine 2p
3. 2
2 1x x− = 2p
1x = , convine 3p
4. 5a b c+ + = ⇒ cifrele nenule ,a b și c pot fi 1, 1, 3 sau 1, 2, 2 2p
Dacă cifrele sunt 1, 1, 3 se obţin numerele 113, 131 și 311 1p
Dacă cifrele sunt 1, 2, 2 se obţin numerele 122, 212, 221 ⇒ sunt 6 numere care verifică
condițiile date 2p
5. 0DB DC D+ = ⇒



 


  este mijlocul laturii BC 3p
( )1 1
2 2
AD AB AC p= + ⇒ =



 


 


 2p
6. 2 3
sin 1 cos 5
B B= − = 2p
2 5
sin
AC R R
B = ⇒ = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
1 1 1
1, 1 1 1 2
2 2 5
D − = − = 2p
6= − 3p
b)
( )
( )( ) ( )( )
0 0 1
, 2 2 2
2 2 2 2 5
D x y x y
x x y y
= − − =
− + − +
2p
( )( ) ( )( )( )
0 0 1
2 2 1 1 2 2 2
2 2 5
x y x y y x
x y
= − − = − − −
+ +
, pentru orice numere reale x și y 3p
c) ( ) ( )( )( )2 , 4 2 2 4 2 4 2x x x x x x
D = − − − 2p
2 2 0 1x x− = ⇒ = 1p
1
4 2 0 2
x x− = ⇒ = 1p
4 2 0 0x x x− = ⇒ = 1p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)
( )
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
A
 
 =  
 
 
, ( )
1 1 2
2 1 2 1
2 1 1
A
− 
 − = −
 
 − 
3p
( ) ( )
0 0 3
1 2 0 3 0
3 0 0
A A
 
 − − =  
 
 
2p
b)
( )( ) ( )( )2
1 1
det 1 1 2 1
1 1
n
A n n n n
n
= = − + − 3p
n ∈ ℕ , ( )( )1 det 0n A n≠ ⇒ ≠ , deci ( )A n inversabilă, pentru orice număr natural n , 1n ≠ 2p
c)
( )
1 1 0
(0) 1 0 1 det (0) 2
0 1 1
A A
 
 = ⇒ = −
 
 
 
2p
1
1 1 1
2 2 2
1 1 1
(0) 2 2 2
1 1 1
2 2 2
A−
 
− 
 
 = −
 
 
 − 
 
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
( )
( )
22
1
2 3
22
11 1
n
n
n na n n
a nn n
+ ++
= ⋅ = =
++ + 2p
3 2
3 2
2 1
3 3 1
n n
n n n
+
= <
+ + + , pentru orice număr natural nenul n 3p
b)
2
1 0 0n
n a
n
+ > ⇒ > , pentru orice număr natural nenul n 2p
2 2
1 2 2 2n
n n n a
nn n
+ +
≤ = ≤ ⇒ ≤ , pentru orice număr natural nenul n , deci ( ) 1n n
a ≥ mărginit 3p
c)
( )
2
2 2
2 1
lim lim
n
n
n
n n
n
na n
+
+
→+∞ →+∞
+ 
= = 
 
2p
2 2
11
lim 1
n
n n
n
e e
n
+
→+∞
  
 = + = =    
3p
2.a) ( ) 1
lim lim 2 1 2x x
x b
f x x→+∞ →+∞
−
= =
+ 3p
Ecuația asimptotei spre +∞ la graficul funcției f este 1
2
y = 2p
b) f este continuă pe ( ), 2−∞ și pe ( )2, +∞ , pentru orice numere reale a și b 2p
f este continuă în 2x = , deci ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
lim lim 2 4, 2
x x
x x
f x f x f a b
→ →
< >
= = ⇒ = − = 3p
c) ( )( )( )7 1 2 16 0 3x
f x x⋅ − − = ⇒ = sau 4x = 2p
f este continuă pe ( )2, +∞ ⇒ mulțimea soluțiilor inecuației este [ ]3,4 3p