Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2013 – sesiunea specială, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Examenul de bacalaureat naţional 2013
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătaţi că ( )3 2 2 3 2 6− + = .
5p 2. Calculaţi (0) (2)f f⋅ pentru funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2
5 25x− = .
5p 4. Preţul unui obiect este 100 de lei. Determinaţi preţul obiectului după o scumpire cu 10%.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A şi ( )1,3B . Calculaţi distanţa de la punctul
A la punctul B .
5p 6. Calculaţi cos 45 cos135° + ° .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Pentru fiecare număr real a se consideră matricea ( ) 2 0
0 2
a
M a a
 
=  
 
.
5p a) Arătaţi că ( )
1 1 0
2 2
M M M
   
+ − =   
    .
5p b) Determinaţi numărul real a pentru care ( )( )det 0M a = .
5p c) Determinați matricea ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 2M M M M M− + − + + + .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 1f X X= − + .
5p a) Arătaţi că (1) 0f = .
5p b) Determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la polinomul 2 2 1g X X= − + .
5p c) Calculați 2 2 2
1 2 3x x x+ + , unde 1 2 3, ,x x x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :[0, )f +∞ → ℝ , ( ) 1f x x= − .
5p a) Arătaţi că 2 '( ) 1x f x = , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Verificaţi dacă dreapta de ecuaţie 1
4
y x= este tangentă la graficul funcţiei f în punctul de
abscisă 0 4x = , situat pe graficul funcției f .
5p c) Arătaţi că funcţia f este concavă pe intervalul ( )0,+∞ .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1
2 1f x x x
= + + .
5p a) Calculaţi ( )
2
1
1
f x dx
x
 
− 
 
∫ .
5p b) Arătaţi că funcţia ( ): 0,F +∞ → ℝ , ( ) 2 lnF x x x x= + + este o primitivă a funcţiei f .
5p c) Calculați aria suprafeţei delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţie 1x = şi
2x = .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
1
Examenul de bacalaureat naţional 2013
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )3 2 2 6 3 2− = −
6 3 2 3 2 6− + =
2p
3p
2. ( )0 1f = −
( )2 1f =
(0) (2) 1f f⋅ = −
2p
2p
1p
3. 2 2
5 5x− =
4x =
2p
3p
4. 10% 100 10⋅ =
Preţul după scumpire este 110 lei 2p
3p
5. ( ) ( )2 2
1 1 3 1AB = − + −
2AB =
3p
2p
6. 2
cos 45 2
° =
2
cos135 2
° = −
cos 45 cos135 0° + ° =
2p
2p
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 01
0 12
M    =   
   
1 01
0 12
M −  
− =    −   
( )
1 0 1 0 0
0 1 0 1 M
−   
+ =   
−   
2p
2p
1p
b) ( )( ) 22 0
det 4
0 2
a
M a a
a
= =
2
4 0 0a a= ⇔ =
3p
2p
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 0 1 2 2 2 1 1 0M M M M M M M M M M− + − + + + = − + + − + + =
( ) 0 0
3 0 0 0
M  
= =  
 
2p
3p
2.a) 3 2
(1) 1 2 1 1f = − ⋅ + =
1 2 1 0= − + =
3p
2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
2
b) Câtul este X
Restul este 1X− +
2p
3p
c) 1 2 3 2x x x+ + = , 1 2 2 3 3 1 0x x x x x x+ + =
2 2 2
1 2 3 4 2 0 4x x x+ + = − ⋅ =
2p
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( )' ' 1
'( ) 1 2
f x x x
= − = , pentru orice ( )0,x ∈ +∞
1
2 '( ) 2 1
2
x f x x x
= ⋅ = , pentru orice ( )0,x ∈ +∞
3p
2p
b) ( ) ( )( )4 4 4y f f x′− = −
( )4 1f = , ( ) 1
4 4
f ′ = ⇒ ecuaţia tangentei este 1
4
y x=
2p
3p
c) ( ) 1
4
f x x x
′′ = − , pentru orice ( )0,x ∈ +∞
( ) 0f x′′ < , pentru orice ( )0,x f∈ +∞ ⇒ este concavă pe intervalul ( )0,+∞
3p
2p
2.a)
( ) ( )
2 2
1 1
1 2 1f x dx x dx
x
 
− = + = 
 
∫ ∫
( ) ( ) ( )2 2 4 2 1 1 4
1
x x= + = + − + =
2p
3p
b) ( ) ( )'2 1
' ln 2 1F x x x x x x
= + + = + +
( )' ( )F x f x= , pentru orice ( )0,x F∈ +∞ ⇒ este o primitivă a funcţiei f
3p
2p
c)
( )
2 2
1 1
1
2 1f x dx x dx
x
 
= = + + = 
 
∫ ∫
A
( )2 2
ln 4 2 ln 2 1 1 ln1 4 ln 2
1
x x x= + + = + + − − − = +
2p
3p