Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2013 – sesiunea specială, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Examenul de bacalaureat naţional 2013
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătaţi că numărul ( ) ( )3 3 2 2 5 3a i i= − + + este real.
5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 4 1f x x= − . Calculaţi ( ) ( ) ( )1 2 ... 10f f f+ + + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2 2log 2 log (1 )x x= + .
5p 4. După o scumpire cu 10% preţul unui produs este 2200 de lei. Calculaţi preţul produsului înainte de
scumpire.
5p 5. Determinaţi numărul real a pentru care vectorii 4u i j= +
   şi ( )2 1v i a j= + +
   sunt coliniari.
5p 6. Determinaţi 0, 2
x
π 
∈ 
  , ştiind că 3sin cos 4
sin
x x
x
+ = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( ) 2
2
1 1 1
, 1
1
D a b a a
b b
= , unde a şi b sunt numere reale.
5p a) Arătaţi că ( )2,3 2D = .
5p b) Verificaţi dacă ( ) ( )( )( ), 1 1D a b a b b a= − − − , pentru orice numere reale a şi b .
5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2
,nP n n , unde n este un număr natural nenul.
Determinaţi numărul natural n , 3n ≥ , pentru care aria triunghiului 1 2 nP P P este egală cu 1.
2. Se consideră 1 2 3, ,x x x rădăcinile complexe ale polinomului 3 2
4 3f X X X m= − + − , unde m este
număr real.
5p a) Pentru 4m = , arătaţi că ( )4 8f = .
5p b) Determinaţi numărul real m pentru care rădăcinile polinomului f verifică relaţia 1 2 3x x x+ = .
5p c) Dacă 3 3 3
1 2 3 1 2 37( )x x x x x x+ + = + + , arătaţi că f se divide cu 3X − .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ ,
2
( ) cos 2
x
f x x= + .
5p a) Calculați ( )f x′ , x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstraţi că ( ) 1f x ≥ , pentru orice x ∈ ℝ .
2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul
1
0
n x
nI x e dx= ∫ .
5p a) Calculaţi 1I .
5p b) Arătaţi că ( )1 1n nI n I e+ + + = , pentru orice număr natural nenul n .
5p c) Arătaţi că ( )1 1 nn I e≤ + ≤ , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
1
Examenul de bacalaureat naţional 2013
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Barem de evaluare şi de notare
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )3 3 2 9 6i i− = −
( )2 5 3 10 6i i+ = +
19a = ∈ ℝ
2p
2p
1p
2. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... 10 4 1 2 ... 10 10f f f+ + + = ⋅ + + + − =
210=
3p
2p
3. 2 1x x= +
Rezultă 1x = , care verifică ecuaţia
3p
2p
4. Se notează cu x preţul iniţial 10% 2200x x+ ⋅ =
Preţul înainte de scumpire este 2000 de lei
2p
3p
5. 2 1
1 4
a +
=
7a =
3p
2p
6. 3sin cos 4sin sin cosx x x x x+ = ⇒ =
4
x
π
=
3p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 1 1 1
2,3 2 4 1
3 9 1
D = = 2p
2= 3p
b)
( ) 2
2
0 0 1
, 1 1 1
1 1 1
D a b a a
b b
= − − =
− −
2p
( )( ) 1 1
1 1 1 1
a
a b b
+
= − − =
+ 2p
( )( )( )1 1a b b a= − − − , pentru orice numere reale a şi b 1p
c)
1 2
1
2nP P P∆ = ⋅ ∆A , unde ( )( )2
2
1 1 1
2 2 1 1 2
1
n n
n n
∆ = = − − 2p
( )( )1 2 1 1 2 2 3nP P P n n n∆ = ⇔ − − = ⇔ =A 3p
2.a) 3 2
4 3 4f X X X= − + − 2p
3 2
(4) 4 4 4 3 4 4 8f = − ⋅ + ⋅ − = 3p
b) 1 2 3 4x x x+ + = 1p
1 2 3 3 2x x x x+ = ⇒ = 2p
(2) 0 2f m= ⇔ = − 2p

Ministerul Educaţiei Naţionale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
2
c) 3 3 3
1 2 3 3 28x x x m+ + = + 2p
3 3 3
1 2 3 1 2 37( ) 0x x x x x x m+ + = + + ⇒ = 1p
Dacă 0m = , atunci (3) 0f = , deci f se divide cu 3X − 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
2 2
cos cos
2 2
x x
f x x x
′ ′   
′′ = + = + =      
   
sin 2 sin
2
x
x x x= − + ⋅ = − , pentru orice x ∈ ℝ
2p
3p
b) ( ) ( )( )0 0 0y f f x′− = −
( )0 1f = , ( )0 0f ′ =
Ecuaţia tangentei este 1y =
2p
2p
1p
c) ( )'' cos 1 0f x x= − + ≥ , pentru orice x ∈ ℝ 'f⇒ este crescătoare pe ℝ
'( ) 0f x ≤ , pentru ( ],0x ∈ −∞ şi '( ) 0f x ≥ , pentru [ )0,x ∈ +∞
( ) (0) ( ) 1f x f f x≥ ⇒ ≥ , pentru orice x ∈ ℝ
2p
2p
1p
2.a) 1 11
1 0
0 0
x x x
I xe dx xe e dx= = − =∫ ∫ 3p
1
0 1x
e e= − = 2p
b)
( )
1 111 1
1 0
0 0
1n x n x n x
nI x e dx x e n x e dx+ +
+ = = − + =∫ ∫ 3p
( ) ( )11 1n n ne n I I n I e+= − + ⇒ + + = 2p
c) Pentru orice *
n ∈ ℕ şi [ ]0 ,1x ∈ , avem 1 x
e e≤ ≤ şi 0n n n x n
x x x e x e≥ ⇒ ≤ ≤ 2p
( )
1 1 1
0 0 0
1 1n n x n nx dx x e dx e x dx n I e≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤∫ ∫ ∫ 3p