Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2012 – sesiunea specială, varianta 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la Matematică Varianta 5
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Examenul de bacalaureat 2012
Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ
Varianta 5
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculaţi 1
lg100 lg 10
+ .
5p 2. Determinaţi mulţimea valorilor funcţiei { }: 1,0,1 , ( ) 2f f x x− → = − +ℝ .
5p 3. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei 2
: , ( ) 2 1f f x x x→ = + −ℝ ℝ .
5p 4. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1
3 9x+ = .
5p 5. Într-un reper cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 2A şi ( )2,0B . Calculaţi distanţa de la A la B.
5p 6. Calculaţi 2 2
sin 10 sin 80+  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea 1 ,
3
M  
= +∞ 
  se defineşte legea de compoziţie 1 1 4
3 3 9
x y x y x y= − − + .
5p a) Verificaţi dacă 1 1 1
3 3 3
x y x y
   
= − − +   
   
 , pentru orice ,x y M∈ .
5p b) Arătaţi că x y y x=  , pentru orice ,x y M∈ .
5p c) Demonstraţi că legea de compoziţie „  ” este asociativă.
5p d) Determinaţi e M∈ astfel încât x e e x x= =  , pentru orice x M∈ .
5p e) Rezolvaţi în mulţimea M ecuaţia 4
9
x x = .
5p f) Arătaţi că
2
1 1 8 1
3
3 3 3
a
a a +   
+ + =   
   
  , pentru orice a M∈ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricea ( )
1 1
1 1
1 1
m
A m m
m
− 
 
= − 
 − 
şi sistemul (S)
1
1
1
mx y z
x my z
x y mz
+ − =
 + − =
− + + =
, unde m este un număr real.
5p a) Calculaţi ( )( )det 2A .
5p b) Arătaţi că ( )( ) 3
det A m m m= − .
5p c) Determinaţi valorile reale ale lui m pentru care ( )( )det 0A m = .
5p d) Verificaţi dacă, pentru 3m = , tripletul 1 1 1
, ,
3 3 3
 
 
  este soluţie a sistemului (S).
5p e) Pentru 2m = , rezolvaţi sistemul (S).
5p f) Pentru 0m = , arătaţi că sistemul (S) nu are soluţii.

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la Matematică Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
1
Examenul de bacalaureat 2012
Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1
lg100 lg lg10
10
1
+ = =
=
3p
2p
2. ( ) ( ) ( )1 3, 0 2, 1 1f f f− = = =
{ }Im 1, 2,3f =
3p
2p
3. 1
2
v
b
x a
= − = −
2
4
vy a
∆
= − = −
2p
3p
4. 2 1 2
3 3x+ =
1
2 1 2 2
x x+ = ⇔ =
2p
3p
5. ( ) ( )2 2
2 1 0 2
5
AB = − + − =
=
3p
2p
6.
2 2
sin10 cos80
sin 80 cos 80 1
=
+ =

 


 

2p
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
a) 1 1 1 3
3 3 9 9
x y x y x y= − − + + =

1 1 1 1
3 3 3 3
x y y
   
= − − − + =   
   
= 1 1 1
3 3 3
x y
   
− − +   
    pentru orice ,x y M∈
1p
2p
2p
b) 1 1 4
3 3 9
1 1 4
3 3 9
x y x y x y
y x yx y x
= − − +
= − − +




Finalizare
2p
2p
1p
c) ( ) 1 1 1 1
3 3 3 3
x y z x y z
   
= − − − +   
   

 
 , pentru orice , ,x y z M∈
( ) 1 1 1 1
3 3 3 3
x y z x y z
   
= − − − +   
   

 
 , pentru orice , ,x y z M∈
Finalizare
2p
2p
1p

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la Matematică Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
2
d) x e e x=
 
 , pentru orice x M∈
1 1 4 1 4 1
3 3 9 3 3 3
x e x xe x e x x e x
   
= ⇒ − − + = ⇒ − ⋅ = ⋅ −   
   

 , pentru orice x M∈
4
3
e =
1p
3p
1p
e) 24 2 0
9 3
x x x x= ⇒ − =

0x = sau 2
3
x =
Finalizare: 2
3
x =
2p
2p
1p
f) 1 8 1
3
3 3
a
a + 
+ = 
  

2
1 1 8 1 1 8 1
3
3 3 3 3 3
a a
a a a
+ +       
+ + = + =       
       

 
 
 , pentru orice a M∈
2p
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
a)
( )
2 1 1
2 1 2 1
1 1 2
A
− 
 
= − 
 − 
( )( )det 2 6A =
2p
3p
b) ( )( ) 3
det 1 1A m m m m m= − + − + − =
3
m m= −
2p
3p
c) ( )( )det 0A m = ⇒ 3 0m m− =
( )( )1 1 0 1, 0, 1m m m m m m− + = ⇒ = − = =
2p
3p
d) 3 1
3 3 1
3 1
x y z
m x y z
x y z
+ − =

= ⇒ + − =
− + + =
Verificare: 1 1 1
, ,
3 3 3
 
 
  este soluţie a sistemului
2p
3p
e) 2 1
2 2 1
2 1
x y z
m x y z
x y z
+ − =

= ⇒ + − =
− + + =
1 1 1
, ,
2 2 2
x y z= = =
1p
4p
f) 1
0 1
1
y z
m x z
x y
− =

= ⇒ − =
− + =
Scăzând primele 2 ecuaţii se obţine y x=
Înlocuind în a treia ecuaţie se obţine 0 1= , imposibil, deci sistemul (S) nu are soluţii pentru
0m =
1p
2p
2p