Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2012 – sesiunea specială, varianta 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la Matematică Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Examenul de bacalaureat 2012
Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătaţi că 1 2
2 2 0,75− −
+ = .
5p 2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia 2 0
3x <
− .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 2x x+ = + .
5p 4. La o bancă a fost depusă într-un depozit suma de 900 lei cu o dobândă de %p pe an. Calculaţi p, ştiind
că, după un an, în depozit suma este de 1008 lei.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O şi ( )2,3A . Determinaţi coordonatele punctului B ,
ştiind că A este mijlocul segmentului ( )OB .
5p 6. Determinaţi măsura x a unui unghi ascuţit, ştiind că sin 4cos 5
cos
x x
x
+ = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele ( )
1 0 0
0 1 ln
0 0 1
H x x
 
 
=  
 
 
, cu ( )0,x ∈ +∞ .
5p a) Arătaţi că ( )( )det 1H x = , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinaţi numărul real a, 0a > , astfel încât ( ) ( ) ( )H x H a H x⋅ = , pentru orice 0x > .
5p c) Calculaţi determinantul matricei ( ) ( ) ( )1 2 2012H H H+ + +… .
2. În [ ]Xℝ se consideră polinomul 3 2
3 3 1f X X X= + − − , cu rădăcinile 1 2 3, ,x x x .
5p a) Arătaţi că polinomul f se divide cu 1X − .
5p b) Calculaţi 2 2 2
1 2 3x x x+ + .
5p c) Verificaţi dacă ( )( )( )1 2 32 2 2 13x x x− − − = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f + ∞ → ℝ , ( ) lnf x x x= − .
5p a) Arătaţi că 4
( ) (4)
lim 0
4x
f x f
x→
− =
− .
5p b) Demonstraţi că funcţia f este crescătoare pe intervalul ( )4, + ∞ .
5p c) Determinaţi ecuaţia asimptotei verticale la graficul funcţiei f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ, ( ) x
f x xe= .
5p a) Arătaţi că funcţia :F →ℝ ℝ , ( ) 2012x x
F x xe e= − + este o primitivă a funcţiei f .
5p b) Calculaţi ( )
1
ln
e
f x dx∫ .
5p c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei [ ]: 1, 2g → ℝ ,
( ) ( )f x
g x x
= .

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la Matematică Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
1
Examenul de bacalaureat 2012
Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 2 1 1
2 2 2 4
− −
+ = + =
3 0,75
4
= =
3p
2p
2. 2 0 3 0
3 x
x < ⇔ − <
−
( ),3x ∈ −∞
3p
2p
3. Condiţie: 2 0 2x x+ ≥ ⇒ ≥ −
2
2 4 4x x x+ = + +
1 2x = − şi 2 1x = −
1p
2p
2p
4. Dobânda obţinută este 1008D = lei 900− lei 108= lei
900 108
100
p ⋅ =
12p =
1p
2p
2p
5.
2
O B
A
x x
x +
= şi 2
O B
A
y y
y +
=
4Bx = şi 6By =
3p
2p
6. sin 4cos 5cosx x x+ =
sin cosx x=
45x = °
1p
2p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )( )det 1 0 0 0 0 0H x = + + − − −
Finalizare
4p
1p
b)
( ) ( )
1 0 0
0 1 ln ln
0 0 1
H x H a a x
 
 
⋅ = + 
 
 
ln 0 1a a= ⇒ =
3p
2p

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la Matematică Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
2
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2012 0 0
1 2 2012 0 2012 ln 2012!
0 0 2012
H H H
 
 
+ + + =  
 
 
…
( ) 3
2012 0 0
0 2012 ln 2012! 2012
0 0 2012
=
3p
2p
2.a) 3 2
(1) 1 3 1 3 1 1 0f = + ⋅ − ⋅ − =
(1) 0 1f X f= ⇒ −
3p
2p
b) 1 2 3 3x x x+ + = −
1 2 1 3 2 3 3x x x x x x+ + = −
2 2 2
1 2 3 15x x x+ + =
1p
1p
3p
c) ( )( )( )3 2 1 2 33 3 1f X X X X x X x X x= + − − = − − − ⇒ ( )( )( )1 2 3(2) 2 2 2f x x x= − − −
(2) 13f =
3p
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 1 1
2
f x xx
′ = − , 0x >
f derivabilă în 4x = ⇒ 4
( ) (4)
lim '(4)
4x
f x f f
x→
− =
−
Finalizare
2p
2p
1p
b) f este derivabilă pe ( )0, + ∞ şi ( ) 2
2
x
f x x
−
′ =
( ) 0′ >f x pentru orice ( )4,x ∈ + ∞ ⇒ funcţia f este crescătoare pe intervalul ( )4, + ∞
2p
3p
c) ( ) ( )0 0
0 0
lim lim ln
x x
x x
f x x x
→ →
> >
= − = +∞
0=x este ecuaţia asimptotei verticale la graficul funcţiei f
3p
2p
2.a) F este derivabilă şi ( )' x x x
F x xe e e= + − , pentru orice x ∈ ℝ
'F f=
3p
2p
b)
( )
1 1
ln ln
e e
f x dx x x dx= =∫ ∫
2 2
11
1
ln
2 2
e e
x x
x dx
x
= − ⋅ =∫
2 2 2
1
1
2 4 4
e
e x e +
= − =
1p
2p
2p
c)
( )
2 2
1
dV g x x
π= =∫
22 2
2
1 1
e d 2
x
x e
x
π
π= = =∫
( )2 2 1
2
e e −
=
π
2p
2p
1p