Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2012 – sesiunea specială, varianta 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la Matematică Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Examenul de bacalaureat 2012
Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculaţi modulul numărului complex 2
(1 )i+ .
5p 2. Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie a graficelor funcţiilor 2
: , ( ) 2f f x x x→ = +ℝ ℝ şi
: , ( ) 2g g x x→ = − −ℝ ℝ .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia 1
2 4x+ ≤ .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulţimile cu trei elemente ale mulţimii
{ }1,2,3,4,5A = , elementele submulţimii alese să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
5p 5. Se consideră vectorii 2u i j= −
   şi v ai j= −
   . Determinaţi numărul real a pentru care 3u v⋅ =
  .
5p 6. Calculaţi cosinusul unghiului A al triunghiului ABC în care 4AB = , 5AC = şi 7BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul
2 3 0
2 3 0
0
x y z
x y z
x y mz
+ + =
 + + =
 + + =
, unde m ∈ ℝ .
5p a) Calculaţi determinantul matricei sistemului.
5p b) Determinaţi valorile reale ale lui m pentru care sistemul are soluţie unică.
5p c) În cazul 2m = , determinaţi soluţia ( )0 0 0, ,x y z a sistemului pentru care 0 0x > şi 2 2 2
0 0 0 3x y z+ + = .
2. Se consideră matricea ( )2
3 2
3 2
A − 
= ∈ −  ℝM şi mulţimea { }{ }2( ) \ 1G X p I pA p= = + ∈ −ℝ .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )X p X q G⋅ ∈ , pentru orice ( ), ( )X p X q G∈ .
5p b) Admitem că ( ),G ⋅ este grup comutativ având elementul neutru (0)X . Determinaţi inversul
elementului ( )X p în acest grup.
5p c) Rezolvaţi ecuaţia 3 2( ) 7( )X p I A= + , unde ( )X p G∈ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 12f x x x= − .
5p a) Arătaţi că funcţia este crescătoare pe intervalul [2, )+∞ .
5p b) Calculaţi ( )
lim
x
x
e
f x→+∞
.
5p c) Determinaţi mulţimea numerelor reale a pentru care ecuaţia ( )f x a= are trei soluţii reale distincte.
2. Se consideră funcţia 2 3
: ( 1, ) , ( ) 2
x
f f x x
+
− +∞ → = +
ℝ .
5p a) Arătaţi că orice primitivă a lui f este strict crescătoare pe ( 1, )− +∞ .
5p b) Calculaţi
1
0
( )
1
f x dx
x +∫ .
5p c) Calculaţi
2
( )
lim
x
x
x
f t dt
x→+∞
∫ .

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la Matematică Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
1
Examenul de bacalaureat 2012
Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2
1 2i i+ =
2 2i =
3p
2p
2. ( ) ( )f x g x= 2 3 2 0x x⇒ + + =
1 11 1x y= − ⇒ = −
2 22 0x y= − ⇒ =
1p
2p
2p
3. 1 2
2 2x+ ≤
1 2x + ≤
( ],1S = −∞
1p
2p
2p
4. nr.cazuri favorabile
nr.cazuri posibile
p =
Submulţimile cu 3 termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice sunt: { }1, 2,3 , { }2,3, 4 ,
{ }3, 4,5 şi { }1,3,5 ⇒ 4 cazuri favorabile
Numărul submulţimilor cu 3 elemente este 3
5 10C = ⇒ 10 cazuri posibile
2
5
p =
1p
2p
1p
1p
5. 3 2 3u v a⋅ = ⇔ + =

 

1a =
4p
1p
6.
2 2 2
cos 2
AB AC BC
A AB AC
+ −
= ⋅ ⋅
1
cos 5
A = −
2p
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 2 1 3
1 2 3
1 1
A
m
 
 =  
 
det 3 6A m= −
2p
3p
b) Sistemul are o soluţie unică dacă şi numai dacă det 0A ≠
Finalizare: { }\ 2m ∈ ℝ
2p
3p

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la Matematică Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
2
c) det 0A = şi 2 1 0
1 2 ≠ , deci matricea sistemului are rangul doi
2 3 ,
2 3
x y
z x y
x y
α
α
α α
α
+ = −
= ⇒ ⇒ = − = − + = −
( ) ( ) { }2 22 2 2 2
0 0 0 3 3 1,1x y z+ + = ⇒ −α + −α + α = ⇒ α ∈ −
Soluţia este ( ) ( )0 0 0, , 1,1, 1x y z = −
1p
2p
1p
1p
2.a) ( ) ( ) ( )X p X q X p q pq⋅ = + +
{ }, \ 1 ( 1)( 1) 0 1p q p q p q pq∈ − ⇒ + + ≠ ⇒ + + ≠ −ℝ , deci ( )X p q pq G+ + ∈
3p
2p
b) Pentru orice ( )X p G∈ , există 1
p
X p
 
− 
+ 
astfel încât ( ) (0)
1
p
X p X X
p
 
⋅ − = 
+ 
1
1 1
p p
X G
p p
 
− ≠ − ⇒ − ∈ 
+ + 
şi 1
p
X p
 
− 
+ 
este inversul lui ( )X p
3p
2p
c) 3
( ( )) (7)X p X=
3 3
( ( )) (( 1) 1)X p X p= + −
3
( 1) 8p + = , deci 1p = şi soluţia este ( )1X
1p
3p
1p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
' 3 12f x x= −
'( ) 0f x ≥ pentru orice [2, )x ∈ +∞ , deci f este crescătoare pe [2, )+∞
3p
2p
b) ( )lim
x
f x
→+∞
= +∞
( ) 2
lim lim lim lim
6 63 12
x x x x
x x x x
e e e e
f x xx→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= = = = +∞
−
2p
3p
c) Şirul lui Rolle pentru funcţia : , ( ) ( )g g x f x a→ = −ℝ ℝ este , 16 , 16 ,a a−∞ − − − + ∞
Ecuaţia are trei soluţii reale distincte dacă şi numai dacă ( )16,16a ∈ −
3p
2p
' ( ) ( )F x f x= , pentru orice ( )1,x ∈ − +∞
( ) 0f x > pentru orice ( 1, )x ∈ − +∞
2p
1p
2.a)
F este strict crescătoare 2p
1 1 1 1
0 0 0 0
( ) 2 3
1 ( 1)( 2) 1 2
f x x dx dx
dx dx
x x x x x
+
= = + =
+ + + + +∫ ∫ ∫ ∫ 3p
b)
1 1
0 0
ln( 1) ln( 2) ln 3x x= + + + = 2p
( ) ( )
2 2 2 2
2 ln( 2) 2 ln 2
|
x x
xx
x
f t dt t t x x
+
= − + = − +∫ , pentru 0x > 3p
c)
2 2
2 ln 2lim 2
x
x
x x
x→+∞
+
− + = 2p