Pregătire cu un profesor

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică
Examen de admitere la licență - Sesiunea iulie 2016
Proba scrisă la matematică
Model 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: ሺ2 ݔ൅ 5ሻଶ ൌ 16
2. Determinați numărul real m pentru care vârful parabolei asociate funcției݂  :  ࡾ→ ࡾ,݂ 
ሺݔሻ ൌ 2ݔ ଶ െ 5 ݔ݉൅ 3 are abscisa egală cu ଵ
ସ.
3. Să se determine soluția reală a ecuației: log ଷ ሺ5 ݔ൅ 6ሻ ൌ 2
4. Calculați : ௉ఱ
஼ల
మ ା஺ఱ
య
5. Se consideră vectorii : ݒଵሬሬሬሬԦ ൌ ଓԦ ൅ 2ଔԦ și ݒଶሬሬሬሬԦ ൌ 3ଓԦ െ ଔԦ. Determinați coordonatele vectorului
ݓሬሬԦ ൌ ݒଵሬሬሬሬԦ ൅ 3ݒଶሬሬሬሬԦ.
6. Calculați perimetrul triunghiului ABC, știind că : AB=3, AC=5 și ܥܣܤ෣ ൌ 60°.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. Pentru fiecareܽ ࡾ ∈ se consideră matricea ൭
െ1 ܽ2
2 ܽܽܽെ1
2
൱ și sistemul ൝
െ ݔ൅ 2 ݕ൅ ݖ ܽൌ 1
ܽ1 ൌ ݖ ܽ൅ ݕ െ ݔ2
 ݔ൅ ݕ ܽ൅ 2 ݖൌ 1
.
a) Să se calculeze determinantul matricei A(a),ܽ  ࡾ ∈ .
b) Să se determineܽ  ࡾ ∈ pentru care sistemul dat poate fi rezolvat prin metoda Cramer.
c) Pentru a=0, să se rezolve sistemul.
2. Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție:  ݔ∗  ݕൌ  ݕݔെ 5 ݔെ 5 ݕ൅ 30,
pentru orice ࡾ ∈ ݕ ,ݔ.
a) Să se arate că :  ݔ∗  ݕൌ ሺ ݔെ 5ሻሺ ݕെ 5ሻ ൅ 5 , pentru orice ࡾ ∈ ݕ ,ݔ.
b) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația: 3 ௫ ∗ 3 ௫ ൌ 21.
c) Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea "*".
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. Se consideră funcția݂  :  ࡾ→ ࡾ,݂  ሺݔሻ ൌ ൜ܽ ݔെ 3,  ݔ൏ 3
2√ ݔ ,ݔ൒ 3
a) Să se determine valoarea reală a lui a, astfel încât funcția f să fie continuă în punctul x 0 =3.
b) Să se calculeze݂  ᇱ ሺ9ሻ.
c) Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul A(9,6).
2. Se consideră funcțiile݂  ௠ :  ࡾ→ ࡾ,݂  ௠ ݉ൌ ሻݔሺ ଶ ݔ ଶ ൅ ݔ ݉൅ 2, ݉∈ ࡾ ∗
a) Să se demonstreze că primitivele funcțiilor݂  ௠ sunt funcții crescătoare, pentru orice݉  ࡾ ∈ ∗.
b) Să se calculeze: ݂ሺ ׬ ଵ ሺݔሻ െ ݔ ଶ െ 2ሻ݁ ݀௫ ݔ
ଵ
଴
c) Să se determine݉  ࡾ ∈ ∗ pentru care aria suprafeței plane determinate de graficul funcției݂  ௠,
axa Ox și dreptele x=0, x=1 are valoare minimă.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică
Examen de admitere la licență - Sesiunea iulie 2016
Proba scrisă la matematică
Model 2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. Să se afle partea reală a numărului complex  ݖൌ ሺ2 െ 3√2݅ሻ ଶ.
2. Determinați numărul real m astfel încât soluțiile ecuației ݔ ଶ ൅ ݔ ݉െ ሺ ݉൅ 1 ሻ ൌ 0 să verifice
relația ݔଵଶ ݔ ൅ଶଶ ݔ ൌଵ ݔଶ െ 2.
3. Să se determine soluția reală a ecuației: 2 ଶ௫ െ 9 ∙ 2 ௫ ൅ 8 ൌ 0.
4. Să se afle termenul dezvoltării binomului ܽሺ√ ൅ ଶ
√௔
య ሻ଼଴ , ܽ൐ 0 care nu conține pe a.
5. În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele A(2,3) și B(-1,0). Scrieți ecuația dreptei
AB.
6. Știind că sin ݔ ൌ ଵ
ଷ și  ݔ∈ ሺ0, గ
ଶ ሻ , calculați sin 2ݔ.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. Se consideră matricea ቀ2 3
5 6ቁ.
a) Verificați că : ܣଶ െ 8 ܣൌ 3ܫଶ, unde I 2 este matricea unitate.
b) Arătați că matricea ଵ
ଷ ሺ ܣെ 8ܫଶ ሻ este inversa matricei A.
c) Demonstrați că ecuația AX=XA are o infinitate de soluții.
2. Se consideră polinomul :݂  ݔ ൌ ଷ ݔ9 െ ଶ ൅ ݔ ܽെ 24 ∈ ࡾሾܺሿ , cu rădăcinile x 1 , x 2 , x 3 ࡾ ∈.
a) Demonstrați că expresia ଵ
௫ భ ௫ మ
൅ ଵ
௫ మ ௫ య
൅ ଵ
௫ భ ௫ య
nu depinde de a.
b) Determinațiܽ  ࡾ ∈ știind că restul împărțirii polinomului f la X-1 este egal cu -6.
c) Aflațiܽ  ࡾ ∈ și rădăcinile polinomului f știind că x1 +x 3 =2x2 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. Se consideră funcția݂  : ሺ0, ∞ሻ → ࡾ,݂  ሺݔሻ ൌ ଶ௫ିଵ
√௫ , oricare ar fi x>0.
a) Verificați că:݂  ᇱ ሺݔሻ ൌ ଶ௫ାଵ
ଶ௫√௫, oricare ar fi x>0.
b) Arătați că 25√14 ൏ 27√13.
c) Calculați lim௫→ஶ
௙൫௫ భయ ൯ା௫ భఱ ା௙ሺ భ
రೣ భయ ሻ
௫ భఱ .
2. Se consideră funcția݂  : ሺ0, ∞ሻ → ࡾ , definită prin݂  ሺݔሻ ൌ ln ݔ.
a) Să se demonstreze că orice primitivă a funcției f este convexă pe ሺ0, ∞ሻ.
b) Calculați ݂׬ ݔሺ ଶ ݁∙ ௫ ݔ݀ሻ
௘ మ
௘ .
c) Determinați volumul corpului de rotație al funcției݃  : ݁,ሾ1 ሿ → ࡾ,݃ ݂ൌ ሻݔሺ ሺݔሻ ∙ ݔ.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 3
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculati partea ^ntreaga a numarului A = 1
1  2 + 1
2  3 + ... + 1
2015  2016.
5p 2. Rezolvati ^n Z inecuatia x2  2x  3  0.
5p 3. A ati numarul termenilor rationali din dezvoltarea (1 + 4
p2)40 .
5p 4. Calculati cosinusul unghiului A al ∆ABC, ^n care AB = 10, AC = 8 si
BC = 12.
5p 5. Se considera punctele A (2, 3) , B (1, 5) si C (6, 3) . Determinati coordonatele
punctului D, astfel ^nc^at patrulaterul ABCD sa e paralelogram.
5p 6. Sa se determine sin 2a, stiind ca sin a = 1
3 si a 2
(π
2 , π
)
.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Pentru ecare x 2 R, se considera matricea A (x) =
0
@
1 x x
0 1 x
x  1 0 1
1
A .
5p a) Calculati det A (1) .
5p b) Daca B (1) = A (1)  I3, calculati B (1)3 .
5p c) Calculati A (1)2016 .
2. Pe R se de neste legea x ◦ y = xy  (x + y) p2 + 2 + p2, 8x, y 2 R.
5p a) Veri cati daca x ◦ y = (x  p2) (y  p2) + p2.
5p b) Aratati ca multimea (p2, 1) este parte stabila a lui R, ^n raport cu legea ,,◦".
5p c) Calculati a = (p2016) ◦ (p2015) ◦ ... ◦ p2015 ◦ p2016.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considera functia f : R ! R, f (x) = ln x2 + 5
x2 + 1.
5p a) Calculati f ′ (x), x 2 R.
5p b) Determinati asimptotele la gra cul functiei f.
5p c) Scrieti ecuatia dreptei tangente la gra cul functiei f ^n punctul de abscisa
x0 = 0.
2. Se considera functia f : R ! R, f (x) = e5xpx2 + 5.
5p a) Daca F : R ! R este o primitiva oarecare a functiei f , studiati monotonia
functiei F.
5p b) Calculti
1∫
0
e5xf (x) dx.
5p c) Calculati volumul corpului obtinut prin rotatia gra cului functiei g : [0, 1] ! R,
g (x) = e5x 4
px2 + 5  f (x) ^n jurul axei Ox.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 4
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculati suma S = log5
1
2 + log5
2
3 + ... + log5
624
625.
5p 2. Rezolvati ^n R inecuatia 2x + 1
x  1 < 0.
5p 3. Rezolvati ^n R ecuatia log2
3 x  5 log3 x + 4 = 0.
5p 4. ^In reperul cartezian xOy consideram punctele A (0, 5) si B (4, 1) . Scrieti ecuatia
mediatoarei segmentului AB.
5p 5. Calculati distanta de la v^arful parabolei asociate functiei f : R ! R,
f (x) = x2  3x  4 la axa Ox.
5p 6. Rezolvati ^n R ecuatia px + x = 2.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ^In M2 (R) se considera matricea A =
( 5 10
2 4
)
si multimea
H = fX (a) j a 2 R, X (a) = I2 + a  Ag .
5p a) Aratati ca I2 2 H.
5p b) Aratati ca X (a)  X (b) = X ((a + 1) (b + 1)  1) , 8a, b 2 R.
5p c) Aratati ca X (1)  X (2)  ...  X (2015) = X (2016!  1) .
2. Se considera polinomul f = 3X4  aX3  aX + 3, a 2 R si e x1, x2, x3 si x4
radacinile sale.
5p a) Calculati x1 + x2 + x3 + x4 + 1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
+ 1
x4
.
5p b) Aratati ca polinomul f nu e divizibil cu X2  1, pentru nicio valoare realaa a
lui a.
5p c) Calculati x3
1 + x3
2 + x3
3 + x3
4.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : R ! R, f (x) = e2016x + 15x + 1.
5p a) Calculati lim
x!0
f (x)  2
x .
5p b) Demonstrati ca f este bijectiva.
5p c) Studiati convexitatea si concavitatea functiei f.
2. Se considera functia f : R ! R, f (x) = x3
x4 + 5.
5p a) Calculati
1∫
0
f (x)dx.
5p b) Calculati
5∫
0
5f (x) + x4f (x)
x8 + 25 dx.
5p c) A ati lim
x!5
1
x  5
x∫
5
f (t)dt.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 5
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculati suma primilor 15 termeni ai progresiei aritmetice (an)n1, stiind ca
a1 = 2 si a2 = 6.
5p 2. Determinati coordonatele v^arfului parabolei asociate functiei f : R ! R,
f (x) = x2 + 5x + 8.
5p 3. Determinati coe cientul binomial al termenului care contine pe x2 ^n dez-
voltarea binomului
(
x + 2
x
)32
, x > 0.
5p 4. Scrieti ecuatia dreptei ce trece prin punctul A (4, 2) si este perpendiculara pe
dreapta d de ecuatie 2x  4y + 5 = 0.
5p 5. Determinati tg (2a), stiind ca sin a = 4
5 si a 2
(π
2 , π
)
.
5p 6. Fie x1, x2 solutiile ecuatiei x2 + x + 1 = 0. Calculati x3
1 + x3
2.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricele B =
0
@
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1
A si A = a  I3 + b  B, a, b 2 R.
5p a) Calculati B2.
5p b) Calculati B1.
5p c) Demonstrati ca 8a, b 2 R, (a  b)  det A  0.
2. Se considera polinomul f = X4 + aX3 + 2X2  2X + 1 2 R [X] si a un numar
real.
5p a) A ati a, stiind ca x1 + x2 + x3 + x4 + 2 (x1x2 + x2x3 + x3x1) = 0.
5p b) Pentru a = 2 a ati radacinile polinomului f.
5p c) Veri cati egalitatea S4 + aS3 + 2S2 = S1  a  4, unde Sn = xn
1 + xn
2 + xn
3 + xn
4 ,
n 2 N.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considera functia f : Rn f5g ! R, f (x) = x + 5
x  5.
5p a) Calculati lim
x!0
f (x)  f (0)
x .
5p b) Determinati intervalele de monotonie ale functiei f.
5p c) A ati ecuatia dreptei tangente la gra cul functiei f ^n punctul de abscisa x0 = 0.
2. Fie functia fn : [0, 1) ! R, fn (x) =
x∫
0
tn  et3
dt, unde n 2 N.
5p a) Calculati f2 (x) , x 2 [0, 1).
5p b) Studiati monotonia functiei f3.
5p c) Determinati punctele de in exiune ale gra cului functiei f3.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 6
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculati p2 + √2 + p3 + √2  p3.
5p 2. Determinati numarul termenilor irationali ai dezvoltarii binomului (p3 + 1)100 .
5p 3. Rezolvati ^n multimea numerelor reale ecuatia log2 x + log4 x + log8 x = 11
6 .
5p 4. Se considera vectorii !u = (a + 3) !
i + !
j si !v = a!
i + !
j , a 2 R. Determinati
valorile lui a, astfel ^nc^at !u si !v sa e perpendiculari.
5p 5. Determinati modulul numarului complex z =
(1 + 3i
3  i
)25
.
5p 6. Calculati suma S = 2 + 5 + 8 + ... + 122.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se considera matricea A =
0
@
2 2 4
1 3 4
1 2 3
1
A .
5p a) Calculati det A.
5p b) Calculati An, unde n 2 N.
5p c) Aratati ca Bn̸ = O3, 8n 2 N, unde B = (a  1)  C + A, C =
0
@
1 0 0
0 0 0
0 0 0
1
A si
a 2 R.
2. Fie multimea M =
8
<
:A(x) j A(x) =
0
@
1 0 x
0 3x 0
0 0 1
1
A , x 2 R
9
=
; .
5p a) Aratati ca M este parte stabila a lui M3 (R) ^n raport cu ^nmultirea matricelor,
,,".
5p b) Aratati ca (M, ) este grup.
5p c) Calculati A(x)n, unde n 2 N, x 2 R.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considera functia f : R ! R, f (x) = 5ex + x2  6x + 2.
5p a) Calculati lim
x!+1 f (x) .
5p b) Calculati lim
x!+1
f (x + 1)
f (x) .
5p c) Aratati ca functia f este convexa pe R.
2. Se considera functia f : [5, 5] ! R, f (x) = p25  x2.
5p a) Calculati
5∫
5
x2015f (x) dx.
5p b) A ati volumul corpului obtinut prin rotatia gra cului functiei f ^n jurul axei
Ox.
5p c) Calculati
5∫
0
x3f (x) dx.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 7
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculati ratia progresiei geometrice (bn)n1 cu termenii pozitivi, daca b4 = 16
si b2 = 4.
5p 2. Rezolvati ^n R inecuatia
(1
2
)x1
<
(1
2
)3x+7
.
5p 3. A ati termenul din dezvoltarea binomului
( 3
px2  x
4
)12
, care contine pe x10.
5p 4. Calculati distanta de la punctul A (1, 0) la dreapta d de ecuatie 4x+3y+1 = 0.
5p 5. Aratati ca parabola asociata functiei f : R ! R, f (x) = x2 + x + 1 este situata
deasupra axei Ox.
5p 6. Determinati sin 2a, c^and cos a = 1
3 si a 2
(π
2 , π
)
.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se considera determinantul D (a) =
a  5 1 1
1 a  5 1
1 1 a  5
.
5p a) Calculati D (7) .
5p b) Aratati ca D (a) = (a  7) (a  4)2 , 8a 2 R.
5p c) Determinati numerele reale x, pentru care D
(
7x2
)
= 0.
2. Se considera multimea G = (5, 1) si legea de compozitie x◦y = xy5x5y+30.
5p a) Aratati ca (G, ◦) este grup.
5p b) Aratati ca functia f : G ! R, f (x) = ln (x  5) este un izomor sm ^ntre
grupurile (G, ◦) si (R, +) .
5p c) Calculati a = 1 ◦ 2 ◦ 3 ◦ ... ◦ 2016.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considera functia f : R ! R, f (x) = x
x2 + 9.
5p a) Calculati f ′ (x) , x 2 R.
5p b) Determinati punctele de extrem ale functiei f.
5p c) Determinati punctele de in exiune ale gra cului functiei f .
2. Se considera functia f : R ! R, f (x) = 5x + 5 arctg x.
5p a) Aratati ca f este bijectiva.
5p b) Calculati
1∫
0
f (x) dx.
5p c) Calculati
1∫
0
f (x)
x2 + 1dx.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
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Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 8
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie numarul complex z = 1
2 + 1
2i. Calculati z2016.
5p 2. Daca x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei x2  5x + 4 = 0, atunci sa se calculeze
x3
1 + x3
2
x1 + x2
.
5p 3. Rezolvati ^n multimea numerelor reale ecuatia 3x2  1
9 = 0.
5p 4. Determinati numarul submultimilor cu doua elemente ale multimii 1, 2, 3, . . .,
2016.
5p 5. ^In reperul cartezian xOy se considera punctele A(1, 1), B(1, 0), C(1, 1).
Calculati aria triunghiului ABC.
5p 6. Determinati sin 2α, stiind ca cos α = 1
2, α 2 (0, π).
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie G multimea tuturor matricilor patratice de ordinul trei, cu elemente numere
reale, de forma Ma,b =
0
@
a b b
b a b
b b a
1
A .
5p a) Calculati det Ma,b.
5p b) Aratati ca H = fMa,b 2 Gj det Ma,b = 1g este o parte stabila a lui M3(R) fata
de ^nmultirea matricilor ,,".
5p c) Aratati ca (H, ) este un grup .
2. Fie sistemul de ecuatii liniare omogene
8
<
:
x + y + 2z = 0
x + y + 2z = 0
2x + 2y + 4z = 0 .
5p a) Determinati rangul matricii sistemului.
5p b) Precizati doua solutii pentru acest sistem.
5p c) Determinati multimea tuturor solutiilor acestui sistem.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : (0, 1) ! R, f (x) = ln x  1
x.
5p a) Aratati ca functia f este strict crescatoare.
5p b) Scrieti ecuatia tangentei la gra cului functiei f ^n punctul de abscisa x0 = 1,
situat pe gra cul lui f .
5p c) Calculati
e∫
1
xf (x) dx.
2. Fie functiile fn : R ! R, n 2 N, de nite astfel: f1(x) = 1, fn+1(x) =
x∫
1
fn(t) dt, n  1.
5p a) Calculati f2(x) si f3(x), x 2 R.
5p b) Folosind metoda inductiei matematice, aratati ca fn(x) = (x  1)n1
(n  1)! , oricare
ar n 2 N.
5p c) Daca an = fn+1(2), atunci aratati ca lim
n!1 an = 0.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

Subiect · pagina 9

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 9
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie numarul complex z = 2  i. Calculati modulul lui (z + 2)2016.
5p 2. Determinati coordonatele punctelor de intersectie cu axa Ox a gra cului functiei
de gradul doi f : R ! R, f (x) = x2  x  2.
5p 3. Rezolvati ^n multimea numerelor reale ecuatia p3x + 4 = 2.
5p 4. Determinati numarul numerelor naturale n pentru care n!  720.
5p 5. ^In reperul cartezian xOy se considera punctul A(1, 1) si dreapta d de ecuatie
x + y + 1 = 0. Calculati distanta de la A la dreapta d.
5p 6. Daca BC = 5, AB = 4 si AC = 3, atunci determinati raza cercului ^nscris ^n
triunghiul ABC.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Pe multimea numerelor reale R se de neste legea de compozitie data de x ◦ y =
xy + 2x + 2y + 2.
5p a) Aratati ca x ◦ y = (x + 2)(y + 2)  2 pentru orice numere reale x, y.
5p b) Determinati elementele simetrizabile fata de legea de compozitie ◦.
5p c) Aratati ca x ◦ x ◦    ◦ x| {z }
de n ori
= (x + 2)n  2 pentru orice n 2 N, n  2.
2. Se considera polinomul f = X3 + X2 + X + 1 2 R[X].
5p a) Aratati ca f divide polinomul g = (X2  1)(X2 + 1).
5p b) Determinati radacinile x1, x2, x3 ale polinomului f .
5p c) Calculati x2
1x2
2 + x2
2x2
3 + x2
3x2
1.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : R ! R de nita prin f (x) = min
(
x, 2
1 + x2
)
.
5p a) Aratati ca f (x) =
{ x, daca x  1,
2
1 + x2 , daca x > 1.
5p b) Aratati ca f admite primitive si determinati o primitiva F a lui f .
5p c) Calculati I =
2∫
0
xf (x) dx.
2. Pentru orice n 2 N, se da functia fn : [0, 1) ! R, fn(x) =
1 + x + x2 +    + xn
1 + xn .
5p a) Calculati lim
n!1 fn(1).
5p b) Studiati continuitatea si derivabilitatea functiei f : [0, 1) n f1g ! R, f (x) =
lim
n!1 fn(x).
5p c) Calculati I =
1∫
0
[f2(x)  f1(x)] dx.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

Subiect · pagina 10

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 10
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie numarul complex z = 1 + i. Calculati log2 jzj.
5p 2. Daca x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei x2 + 1 = 0, atunci sa se calculeze x2016
1 +
x2016
2 .
5p 3. Rezolvati ecuatia 3
px3 + 3x2 + 3x + 1  27 = 0.
5p 4. Se considera experienta aruncarii simultane cu doua zaruri identice.
Determinati probababilitatea de a obtine suma zarurilor egala cu 7.
5p 5. Scrieti ecuatia dreptei g care trece prin punctul A(1, 1) si este perpendiculara
pe dreapta d de ecuatie 2x + y  1 = 0.
5p 6. Daca ^n triunghiul ABC se cunosc lungimile laturilor BC = 10, AB = 6,
AC = 7, atunci calculati cos A.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie legea de compozitie pe  : R  R ! R, x  y = x + y + xy.
5p a) Calculati x  0 si x  (1), x 2 R.
5p b) Veri cati daca (R, ) este un grup abelian sau nu.
5p c) Rezolvati ^n R ecuatia x  x  x  x  x = 1.
2. ^In Z5[X] se considera polinomul f = X3 + X + b1, unde Z5 = fb0, b1, b2, b3, b4g.
5p a) Calculati f (b0), f (b1), f (b2), f (b3), f (b4).
5p b) Determinati radacinile din Z5 ale polinomului ef = f + b1.
5p c) Determinati c^atul si restul ^mpartirii polinomului f la polinomul g = X2 + b1.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : R n f1g ! R, f (x) = x2 + mx + 1
x  1 , m 2 R.
5p a) Pentru m = 0, calculati f ′
(x), x 2 R n f1g.
5p b) Determinati m astfel ^nc^at dreapta y = x + 2 sa e o asimptota la gra cul lui
f .
5p c) Pentru m = 1, calculati
0∫
1
f (x) dx.
2. Fie functia f : (0, 1) ! R, f (x) = ln x  x .
5p a) Determinati abscisa punctului de extrem al functiei f .
5p b) Scrieti ecuatia tangentei la gra cului functiei f ^n punctul M (e, f (e)).
5p c) Calculati
e∫
1
f (x) dx.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 11
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie numarul complex z = 1 + i
1  i  1  i
1 + i . Calculati jzj2016.
5p 2. Daca x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei x2 + x + m = 0 si veri ca relatia x2
1 + x2
2 =
1, atunci sa se determine parametrul real m.
5p 3. Determinati cel mai mare numar natural par, de trei cifre, care se poate forma
cu cifrele 1, 2, 3, 4 si 5.
5p 4. Rezolvati ^n multimea numerelor reale ecuatia log3(px2 + 3x + 1) = 2 log9 x.
5p 5. Determinati numarul real m stiind ca vectorii !a = !
i + 2m!
j si !
b = !
i  !
j
sunt coliniari.
5p 6. Daca cos a = 1
p3, a 2 (0, π), atunci calculati sin a + cos a
sin a  cos a.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea A =
0
@
1 2 3
m 1 3
0 0 1
1
A , unde m este un numar real.
5p a) Determinati m astfel ^nc^at matricea A sa aiba rangul doi.
5p b) Pentru m = 1, determinati A1.
5p c) Gasiti doua matrici patratice, de ordinul trei, A1 simetrica si A2 antisimetrica
astfel ^nc^at A = A1 + A2.
2. Fie polinomul f = X(X + 1)2n+1 + (m  1)Xn, n 2 N, n  3, m 2 R.
5p a) Calculati f (ε), unde ε este o radacina complexa a polinomului X3  1 = 0.
5p b) Determinati m astfel ^nc^at f sa e divizibil cu X2 + X + 1.
5p c) Pentru n = 3 si m = 1 rezolvati ^n multimea numerelor reale ecuatia f (x) = 0.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : R ! R, f (x) = jx  1j  1.
5p a) Determinati coordonatele punctelor de intersectie cu axa Ox a gra cului functiei
f .
5p b) Studiati continuitatea si derivabilitatea functiei f .
5p c) Calculati
2∫
0
f (x) dx.
2. Fie functiile f, g : R ! R, f (x) = x3 + x, g(x) = ex
x2 + 1.
5p a) Calculati f ′(x) si g′(x), x 2 R.
5p b) Calculati In =
1
n∫
0
(f (x)  g(x)) dx, n 2 N.
5p c) Calculati lim
n!1 n2 (In  1).
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

Subiect · pagina 12

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie numarul complex z = 1
2 + i
p3
2 . Calculati z2016 + z2016.
5p 2. Daca x1, x2 si x3 sunt radacinile ecuatiei x3  x2 + x  1 = 0, atunci sa se
calculeze x2016
1 + x2016
2 + x2016
3 .
5p 3. Rezolvati ecuatia e2x  2ex  8 = 0.
5p 4. Calculati suma C0
2n  3C1
2n + 9C2
2n  27C3
2n +    + 32nC2n
2n , n 2 N.
5p 5. Scrieti ecuatia dreptei g care trece prin punctul A(1, 1) si este paralela cu
dreapta d de ecuatie 2x + y + 2016 = 0.
5p 6. Ordonati crescator numerele reale cos 1, cos 2, cos 3.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea A =
0
@
1 1 1
a1 a2 a3
a2
1 a2
2 a2
3
1
A 2 M3 (R).
5p a) Calculati det(A  At).
5p b) Determinati inversa matricii A, pentru a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3.
5p c) Rezolvati sistemul liniar omogen de matrice A, pentru a1 = 1, a2 = a3 = 1.
2. ^In Z[X] se considera polinomul f = 4X4  4X2 + 1.
5p a) Calculati f
(
 1
p2
)
.
5p b) Determinati radacinile reale ale polinomului f .
5p c) Sa se descompuna polinomul f ^n factori ireductibili ^n Z[X].
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : R ! R, f (x) = x + ex, x 2 R.
5p a) Calculati f ′(x) si f ′′(x), x 2 R.
5p b) Determinati punctele de extrem pentru functia f : R ! R, g(x) = f (x)+f (x).
5p c) Calculati
1∫
0
g(x) dx.
2. Fie functia f : R n f0g ! R, f (x) = xe 1
x .
5p a) Calculati limitele lim
x↗0 f (x) si lim
x↘0 f (x).
5p b) Determinati punctele de extrem local si global pentru functia f .
5p c) Calculati
2∫
1
x2f
( 1
x
)
dx.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Barem · 18 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică
Examen de admitere la licență - Sesiunea iulie 2016
Proba scrisă la matematică
BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE
Model 1
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului
indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 ݔ൅ 5 ൌ േ4 ...........................................................................................................................
x 1 =-1/2, x2 =-9/2 ..................................................................................................................
2. െ ௕
ଶ௔ ൌ ହ௠
ସ ൌ ଵ
ସ ...........................................................................................................................݉
ൌ ଵ
ହ ...........................................................................................................................
3. 5x+6 > 0 ..................................................................................................................
5 ݔ൅ 6 ൌ 9 ...........................................................................................................................
ൌ ݔ ଷ
ହ ...........................................................................................................................
4.ܲ  ହ ൌ 120 ...........................................................................................................................
ܥ଺
ଶ ܣ ൅ ହ
ଷ ൌ 75 ...........................................................................................................................
௉ఱ
஼ల
మ ା஺ఱ
య ൌ଼ ହ ...........................................................................................................................
5. ݓሬሬԦ ൌ ݒଵሬሬሬሬԦ ൅ 3ݒଶሬሬሬሬԦ ൌ 10ଓԦ െ ଔԦ .................................................................................................................
6. BC = √19 ...........................................................................................................................ܲ
ൌ 8 ൅ √19 ...........................................................................................................................
3p
2p
3p
2p
1p
3p
1p
1p
3p
1p
5p
3p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) det  ܣൌ 6ሺܽ ଶ െ 1ሻ .................................................................................................................
b)݁݀  0 ്ܣݐ .................................................................................................................്ܽ 
േ1 .................................................................................................................
c) ∆ ௫ ൌ െ6; ∆ൌ െ6;  ݔൌ 1 .................................................................................................................
∆௬ ൌ െ6; ∆ൌ െ6;  ݕൌ 1 .................................................................................................................
∆௭ ൌ െ3; ∆ൌ െ6;  ݖൌ 1/2 .................................................................................................................
2. a)  ݔ∗  ݕൌ ሺ ݔെ 5ሻሺ ݕെ 5ሻ ൅ 5 , pentru orice ࡾ ∈ ݕ ,ݔ .....................................................................
b) ሺ3 ௫ െ 5ሻଶ ൌ 16 .................................................................................................................
3 ௫ െ 5 ൌ േ4 .................................................................................................................
x 1 =2, x 2 =0 .................................................................................................................
c) e = 6 element neutru .................................................................................................................
ݔ ᇱ ൌ ହ௫ିଶସ
௫ିହ , ∀ ݔ് 5 .................................................................................................................
5p
3p
2p
2p
2p
1p
5p
2p
2p
1p
2p
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)݈  ௦ ሺ3ሻ ൌ݈ ௗ ሺ3ሻ ;ܽ  ൌ ଷାଶ√ଷ
ଷ ...................................................................................................
b)݂  ᇱ ሺ9ሻ ൌ 1/3 .................................................................................................................
c)  ݕെ 6 ൌ 1/3 ∙ ሺ ݔെ 9ሻ .................................................................................................................
2. a) ܨ ᇱ௠ ݂ൌ ሻݔሺ ௠ ሺݔሻ ൐ 0, ∀  ݔ∈ ࡾ deci Fm este strict crescătoare pe R, ∀  ݉∈ ࡾ ∗ ......................
b) ݂ሺ ׬ ଵ ሺݔሻ െ ݔ ଶ െ 2ሻ݁ ݀௫ ݔ
ଵ
଴ ݁ݔ ׬ ൌ ݀௫ ݔ
ଵ
଴ ൌ 1 ...................................................................................
c) ൌ ܽ݅ݎܣ ௠ మ
ଷ ൅ ௠
ଶ ൅ 2 .................................................................................................................
m = -3/4 .................................................................................................................
5p
5p
5p
5p
5p
3p
2p

Barem · pagina 2

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică
Examen de admitere la licență - Sesiunea iulie 2016
Proba scrisă la matematică
Model 2
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului
indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Re z = -14 .............................................................................................................................
2. ݔଵ ݔ ൅ଶ ; ݉ൌ ݔ ଵ ݔଶ ൌ ݉൅ 1 .........................................................................................................
ݔଵଶ ݔ ൅ଶଶ ݔ ൌଵ ݔଶ െ 2 ↔ ݉ ଶ െ 3 ݉െ 1 ൌ 0 .....................................................................................݉ 
ଵ,ଶ ൌ ଷേ√ଵଷ
ଶ .........................................................................................................................................
3. 2 ௫ ݐ ൌ ................................................................................................................................................
2 ଶ௫ െ 9 ∙ 2 ௫ ൅ 8 ൌ 0 ↔ ݐ ଶ െ 9 ݐ൅ 8 ൌ 0 .........................................................................................
x 1 =3, x 2 =0 ...................................................................................................................................
4. ଼ ଴ି௞
ଶ െ ௞
ଷ ൌ 0 .....................................................................................................................................
k = 48; termenul este T49 .............................................................................................................
5. y = x+1 ...................................................................................................................................
6. cos ݔ ൌ ଶ√ଶ
ଷ .....................................................................................................................................
sin 2ݔ ൌ ସ√ଶ
ଽ .........................................................................................................................................
5p
2p
2p
1p
2p
2p
1p
3p
2p
5p
3p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) Calcul direct .........................................................................................................................
b) ܣ ∙ ଵ
ଷ ሺ ܣെ 8ܫଶ ሻ ൌ ଵ
ଷ ሺ ܣെ 8ܫଶ ሻ ∙  ܣൌ ܫଶ, deci ଵ
ଷ ሺ ܣെ 8ܫଶ ሻ este inversa matricei A ……………………
c) Dacăܺ ܾ݀ܿܽሺ ൌ ሻ, AX = XA ܺ↔ ܾܽሺ ൌ ହ
ܾܽଷ ൅ ସ
ܾଷ
ሻ, deci există o infinitate de soluții................
2. a) ଵ
௫ భ ௫ మ
൅ ଵ
௫ మ ௫య
൅ ଵ
௫ భ ௫ య
ൌ ଷ଼ , deci nu depinde de a. .............................................................................
b) f(1) = -6; deci a = 26...............................................................................................................
c) x 1 +x3 =2x2 , rezultă x2 = 3 ......................................................................................................
f(3) = 0, rezultă a = 26 ...............................................................................................................
ሺ ݔെ 3ሻሺݔ ଶ െ 6 ݔ൅ 8 ൌ 0ሻ , rezultă x1=4, x 3 =2......................................................................................
5p
5p
5p
5p
5p
1p
1p
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)݂  ᇱ ሺݔሻ ൌ ଶ௫ାଵ
ଶ௫√௫, oricare ar fi x>0……………………………………………………………………………
b)݂  ᇱ ሺݔሻ ൐ 0, oricare ar fi  ݔ൐ 0, deci f este strict crescătoare, de unde 25√14 ൏ 27√13 …………
c)݂  ቀ ଵ
ସ௫ ቁ ൌ െ݂ሺݔሻ ...............................................................................................................................
lim௫→ஶ
௙൫௫ భయ ൯ା௫ భఱ ା௙ሺ భ
రೣ భయ ሻ
௫ భఱ = 1 .............................................................................................................
2. a) ܨ " ሺݔሻ ൌ ଵ
௫ ൐ 0, ∀  ݔ∈ ሺ0, ∞ሻ ........................................................................................................
F este convexă pe ሺ0, ∞ሻ ......................................................................................................................
b) ݂׬ ݔሺ ଶ ݁∙ ௫ ݔ݀ሻ
௘ మ
௘ = ௘ మ ሺ௘ మ ାଷሻ
ଶ ............................................................................................................
c)ܸ  ߨ ൌ ݈݋ ݔ ׬ ଶ ሺln ݔሻ ݀ଶ ݔ
௘
ଵ ൌ గሺହ௘ యି ଶሻ
ଶ଻ ...............................................................................................
5p
5p
3p
2p
4p
1p
5p
5p

Barem · pagina 3

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 3
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. A = 2015
2016 2 (0, 1) , deci [A] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. x 2 (1, 3) ∩ Z = f0, 1, 2g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
3. (Tk+1 = Ck
402k/4 2 Q) ,
(
k ... 4
)
. Rezulta 11 termeni rationali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
4. cos A = AB2 + AC2  BC2
2AB  AC = 1
8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
5. xA + xC
2 = xB + xD
2 , yA + yC
2 = yB + yD
2 , de unde D (3, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
6. sin 2a =  4p2
9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) det A (1) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) B (1)3 = O3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) A (1)2016 = C0
2016I3 + C1
2016B (1) + C2
2016B (1)2 =
0
@
1 C1
2016 C1
2016 + C2
2016
0 1 C1
2016
0 0 1
1
A . . . . . . . . . . 5p
2. a) Calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) x ◦ y  p2 = (x  p2) (y  p2) > 0, 8x, y > p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) a = α ◦ p2 ◦ β = p2 ◦ β = p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a) f ′ (x) = 8x
(x2 + 1) (x2 + 5) , x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) y = 0 asimptota orizontala la +1 si 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) y = ln 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a) F ′ (x) = f (x) > 0, 8x 2 R, deci F este strict crescatoare pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b)
1∫
0
√x2 + 5dx = 5 ln (p6 + 1)
2  5 ln 5
4 +
p6
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Vol = π
1∫
0
(x2 + 5)3/2 dx = π
( 75 ln (p6 + 1)
8  75 ln 5
16 + 27p6
8
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

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Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 4
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. S = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. x 2 ( 1
2 , 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
3. x 2 f3, 81g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
4. y = x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
5. yV =  ∆
4a =  25
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
6. x = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) I2 = X (0) 2 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Prin inductie matematica, X (1)  X (2)  ...  X (n) = X ((n + 1)!  1) , 8n 2 N, n  2 . . . . 5p
2. a) S1 + S3
S4
= 2a
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Daca f ... (X2  1), atunci 6  2a = f (1) = 0 si 6 + 2a = f (1) = 0, fals . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) x3
1 + x3
2 + x3
3 + x3
4 = a3
27 + a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a) lim
x!0
f (x)  2
x = 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Din f ′ (x) > 0, f este strict crescatoare, deci injectiva. Din f continua si lim
x!+1 f (x) = +1,
lim
x!1 f (x) = 1, f este surjectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Din f ′′ (x) > 0, f este convexa pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a)
1∫
0
f (x) dx = 1
4 ln 6
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b)
5∫
0
5f (x) + x4f (x)
x8 + 25 dx =
p5
20 arctg 57/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) lim
x!5
1
x  5
x∫
5
f (t) dt = f (5) = 25
126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

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Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 5
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. r = 4 si S15 = 15 (a1 + a15)
2 = 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. V
( 5
2 , 57
4
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
3. Din Tk+1 = 2kCk
32x322k, obtinem k = 15. Coe cientul cerut este C15
32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
4. 2x + y + 10 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
5. tg (2a) = 24
7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
6. x3
1 + x3
2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) B2 = I3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) B1 = B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
c) (a  b) det A = (a  b) det
0
@
a + b 0 0
0 a b
0 b a
1
A=(a2  b2)2  0, 8a, b 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a) a = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) x1 = x2 = 1, x3 = i, x4 = i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Calcul direct, folosind relatiile lui Viete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)  2
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Cum f ′ (x) =  10
(x  5)2 < 0, 8x 2 Rn f5g , f este strict descrescatoare pe R. . . . . . . . . . . . . 5p
c) 2x + 5y + 5 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a) f2 (x) = 1  ex3
3 , 8x  0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Cum f ′
3 (x) = x3ex3
 0, 8x  0, f3 este crescatoare pe [0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Cum f ′′
3 (x) = 3x2 (1  x) (x2 + x + 1) ex3
, 8x  0, x = 1 este punctul de in exiune . . . . . 5p

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Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 6
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. p2 (1 + p3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. (Tk+1 = Ck
1003k/2 2 Q) ,
(
k ... 2
)
. Rezulta 50 de temeni irationali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
3. x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
4. a 2 f2, 1g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
5. jzj = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
6. Progresie aritmetica, a1 = 2, r = 3, S = S41 = 41 (2 + 122)
2 = 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) det A = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Prin inductie matematica se arata ca An = A, 8n 2 N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Daca a = 1, B = A si Bn = An = A̸ = O3, 8n 2 N. Daca a̸ = 1, det B = 1  a̸ = 0 si
Bn̸ = O3, 8n 2 N (altfel, det Bn = det O3 = 0 = det B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a) A(x)  A(y) = A(x + y), 8x, y 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Veri carea axiomelor grupului. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
c) A (x)n = A (nx) , 8n 2 N, x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a) lim
x!+1 f (x) = +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) lim
x!+1
f (x + 1)
f (x) = e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Din f ′′ (x) = 5ex + 2 > 0, 8x 2 R, f este convexa pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a)
5∫
5
x2015f (x) dx = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Vol = 500π
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c)
5∫
0
x3f (x) dx = 1250
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 7
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. q = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
2. x 2 (0, +1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
3. Din Tk+1 = Ck
12
(
 1
4
)k
x8+k/3, obtinem k = 6. Termenul cerut este T7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
4. 3
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
5. a = 1 > 0 si ∆ < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
6.  4p2
9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) D (7) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) x 2 f log7 4, 1, 1, log7 4g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a) Veri carea axiomelor grupului. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
b) f mor sm de grupuri si bijectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) x ◦ y = (x  5) (y  5) + 5. Deci a = α ◦ 5 ◦ β = 5 ◦ β = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a) f ′ (x) = 9  x2
(x2 + 9)2 , 8x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) 3, 3 sunt punctele de extrem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) 3p3, 0, 3p3 sunt punctele de in exiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a) Din f ′ (x) > 0, f este strict crescatoare, deci injectiva. Din f continua si lim
x!+1 f (x) = +1,
lim
x!1 f (x) = 1, f este surjectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b)
1∫
0
f (x) dx = 5π
4 + 5 (1  ln 2)
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c)
1∫
0
f (x)
x2 + 1 dx = 5π2
32 + 5 ln 2
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 8
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
z2 = 1
2 i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
i4 = i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
z2016 = 1
21008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
x1 + x2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x1x2 = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2  2x1x2 = 25  8 = 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x3
1 + x3
2
x1 + x2
= x2
1  x1x2 + x2
2 = 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
3x2 = 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Obtinerea radacinii reale x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Numarul submultimilor este C2
2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Ck
n = n!
k!  (n  k)! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
C2
2016 = 2016  2015
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Aria ∆ABC este 1
2 j∆j, ∆ =
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 p
∆ = 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Aria este egala cu 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
sin 2α = 2 sin α cos α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
sin2 α = 1  cos2 α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
sin α =
p3
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
sin 2α = 
p3
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p

Barem · pagina 9

a) det Ma,b = a3 + 2b3  3ab2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
b) Ma,b  Mc,d = Mac+2bd,ad+bc+bd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
det (Ma,b  Mc,d) = det Ma,b  det Mc,d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Concluzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
c) Asociativitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Comutativitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Matricea unitate I3 = M1,0 2 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Orice matrice Ma,b 2 H este inversabila si inversa M 1
a,b = Ma2b2,b2ab 2 H . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) Matricea sistemului este A =
0
@
1 1 2
1 1 2
2 2 4
1
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
det A = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Toti minorii de rang doi sunt nuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Matricea are rangul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
b) (0, 0, 0) este solutia banala (nula) a acestui sistem liniar omegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
O alta solutie este (3, 1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c) Solutia generala a sistemului este (α  2β, α, β), α, β 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Multimea solutiilor este S = f(α  2β, α, β)jα, β 2 Rg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f ′(x) = 1
x + 1
x2 , pentru orice x > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f ′(x) > 0, pe (0, 1) implica f este strict crescatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
b) f (1) = 1, f ′(1) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Ecuatia tangentei ^n M (x0, f (x0)) este y  f (x0) = f ′(x0)  (x  x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Ecuatia tangentei ^n M (1, 1) este y + 1 = 2(x  1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
c)
e∫
1
xf (x) dx =
e∫
1
x ln x dx 
e∫
1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
e∫
1
x ln x dx = x2
2 ln x
e
1
 1
2
e∫
1
xdx = e2
4
1
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Integrala este egala cu e2
4  e + 5
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f2(x) =
x∫
1
f1(t) dt = x  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f3(x) =
x∫
1
f2(t) dt =
x∫
1
(t  1) dt = (x  1)2
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
b) Etapa I. Veri carea, P(1): f1(x) = (x  1)0
0! , 8x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Etapa a II-a. P(k) implica P(k+1)
Daca fk(x) = (x  1)k1
(k  1)! atunci fk+1(x) =
x∫
1
fk(t) dt =
x∫
1
(t  1)k1
(k  1)! dt = (x  1)k
k! . . . . . . . . 4 p
c) an = fn+1(2) = 1
n! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
lim
n!1 an = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 9
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Modulul numarului complex z = a + ib este jzj = pa2 + b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(z + 2)2016 = (i)2016 = ((i)4)504 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
j(z + 2)2016j = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
∆ = b2  4ac = 9 > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x1,2 = b  p∆
2a , x1 = 1, x2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Punctele de intersectie ale gra cului cu axa Ox sunt M1(1, 0), M2(2, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Conditia de existenta a radicalului 3x + 4 > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pp3x + 4 = 2 ) p3x + 4 = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Radacina ecuatiei este x1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
6! = 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
n 2 f0, 1, 2, 3, 4, 5, 6g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Exista 7 numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Distanta de la punctul A(x0, y0) la dreapta d : ax + by + c = 0 este
d(A, d) = jax0 + by0 + cj
pa2 + b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
d(A, d) = 1
p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Semiperimetrul triunghiului este p = a + b + c
2 = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Aria triunghiului este S = √p(p  a)(p  b)(p  c) = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Raza cercului ^nscris ^n triunghiul ABC este r = S
p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) Pentru orice x, y 2 R avem (x + 2)(y + 2)  2 = xy + 2x + 2y + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
b) Elementul neutru este 1, x ◦ (1) = (1) ◦ x = x, 8x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Se observa ca x ◦ (2) = (2) ◦ x = 2̸ = 1, 8x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Orice x̸ = 2 este simetrizabil, cu simetricul x′ = 2 + 1
x + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Barem · pagina 11

c) Veri carea P(2): x ◦ x = (x + 2)2  2, pentru orice x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstratia ca P(k) implica P(k+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Concluzia rezulta conform metodei inductiei matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) (X  1)f = g implica f divide polinomul g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
b) f = (X + 1)(X2 + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Radacinile sunt x1 = 1, x2 = i, x3 = i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 p
c) Relatiile lui Viete:
S1 = x1 + x2 + x3 = 1, S2 = x1x2 + x2x3 + x3x1 = 1, S3 = x1x2x3 = 1
Suma ceruta este egala cu S2
2  2S3S1 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) x  2
1 + x2 = (x  1)(x2 + x + 2)
1 + x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
x  2
1 + x2  0 , x  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
x  2
1 + x2 > 0 , x > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) lim
x↗1 f (x) = lim
x↘1 f (x) = f (1) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f este continua pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f continua implica f admite primitive pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
O primitiva F a lui f este de forma F (x) =
8
><
>:
x2
2 + c1 daca x  1
1
2 arctgx + c2 daca x > 1
,
c1, c2 constante reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
F derivabila implica F continua, adica c1 = π  1
2 + c, c2 = c
F (x) =
8
><
>:
x2
2 + π  1
2 + c daca x  1
1
2 arctgx + c daca x > 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
c) I =
2∫
0
xf (x) dx =
1∫
0
x2 dx +
2∫
1
2x
1 + x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
I = x3
3
1
0
+ ln (x2 + 1) 2
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
I = 1
3 + ln
( 5
2
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) fn(1) = n + 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
lim
n!1 fn(1) = +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) Daca x̸ = 1, atunci fn(x) = 1  xn+1
(1 + xn)(1  x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Daca x 2 [0, 1), atunci lim
n!1 fn(x) = 1
1  x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Daca x 2 (1, +1), atunci lim
n!1 limfn(x) =  x
1  x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
f (x) =
8
<
:
1
1  x daca x 2 [0, 1)
x
x  1 daca x 2 (1, +1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f este continua si derivabila pe [0, 1) si pe (1, +1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Barem · pagina 12

c) I =
1∫
0
[f2(x)  f1(x)] dx =
1∫
0
[ 1 + x + x2
1 + x2  1 + x
1 + x
]
dx =
1∫
0
x
1 + x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
I = 1
2 ln (1 + x2) 1
0
= 1
2 ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Barem · pagina 13

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 10
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
log2 jzj = log2
p2 = 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
x2016
1 + x2016
2 = i2016 + (i)2016 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Ecuatia este echivalenta cu x + 1 = 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 p
x1 = 28 solutie unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Probabilitatea este raportul dintre numarul cazurilor favorabile si numarul cazurilor posibile 2 p
Exista 36 de cazuri posibile si 6 cazuri favorabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Probabilitatea este 1
6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Panta dreptei d este md = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Panta dreptei g este mg =  1
md
=  1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Ecuatia dreptei g care trece prin punctul A este y  yA = mg(x  xA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Ecuatia dreptei d este x + 2y  1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Teorema cosinusului: cos A = AB2 + AC2  BC2
2ABAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
cos A =  5
28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) x  0 = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
x  (1) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b)  este lege de compozitie asociativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
 este lege de compozitie comutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
 este lege de compozitie cu elementul neutru 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Elementul 1 nu are simetric (x  (1) = 1, 8x 2 R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(R, ) nu este grup, ci doar monoid comutativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
c) x  y = (x + 1)(y + 1)  1, 8x, y 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
x  x  x  x  x = (x + 1)5  1, 8x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
x = 1 solutie unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f (b0) = b1, f (b1) = b3, f (b2) = b1, f (b3) = b1, f (b4) = b4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p

Barem · pagina 14

b) ~f (b4) = f (b4) + b1 = b0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Singura radacina a lui ~f ^n Z5 este b4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c) f = g  X + b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
C^atul si restul ^mpartirii sunt q = X, r = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f ′(x) = x2  2x  1
(x  1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
b) lim
x!1
f (x)
x = lim
x!1
x2 + mx + 1
x2  x = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
lim
x!1 (f (x)  x) = lim
x!1
(m + 1)x + 1
x  1 = m + 1 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
c)
0∫
1
f (x) dx =
0∫
1
x2 + x + 1
x  1 dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
=
0∫
1
(x  1)(x + 2) + 3
x  1 dx =
0∫
1
(x + 2) dx +
0∫
1
3
x  1 dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
= x2
2 + 2x
0
1
 3 ln jx  1jj0
1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
= 3
2  3 ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f ′(x) = 1
x  1 = 1  x
x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
x = 1 este abscisa singurului punct de extrem al lui f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) Ecuatia tangentei ^n M (x0, f (x0)) este y  f (x0) = f ′(x0)(x  x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
x0 = e, f (e) = 1  e, f ′(0) = 1
e  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Ecuatia tangentei la Gf ^n M (e, f (e)) este y =
( 1
e  1
)
x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c)
e∫
1
f (x) dx =
e∫
1
ln x dx 
e∫
1
x dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
=
e∫
1
x′ ln x dx 
e∫
1
x dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
= x ln xje
1 
e∫
1
1 dx  x2
2
e
1
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
= 3  e2
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Barem · pagina 15

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 11
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
z = 1 + i
1  i  1  i
1 + i = 2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
jzj2016 = 22016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Relatiile lui Viete x1 + x2 = 1, x1x2 = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2  2x1x2 = 1  2m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
1 = 1  2m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Numarul cerut este 54312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Conditii de existenta: x2 + 3x + 1 > 0, x > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
1
2 log3(x2 + 3x + 1) = log3 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x =  1
3 < 0, ecuatia nu are solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
!a , !
b sunt coliniari daca si numai daca 1
1 = 2m
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
m = 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
sin2 a = 1  cos2 a = 2
3 , sin a =
p2
p3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
sin a + cos a
sin a  cos a = 3 + 2p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) det A = 1  2m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
Exista un minor de ordin doi nenul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Matricea A este 2 daca si numai daca m = 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) det A = 1, A1 = 1
det A  A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Inversa este A1 =
0
@
1 2 3
1 1 0
0 0 1
1
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

Barem · pagina 16

c) A1 = 1
2 (A + At) simetrica si A2 = 1
2 (A  At) antisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 p
A = A1 + A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f (ε) = ε(ε)2n+1 + (m  1)εn = (m  2)εn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
b)f este divizibil cu X2 + X + 1 daca si numai daca f (ε) = 0, f (ε) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
f (ε) = f (ε) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
m = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
c) Pentru n = 3, m = 1, f = X(X + 1)7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Ecuatia f (x) = 0 are solutia simpla x1 = 0 si solutia multipla x2,...,8 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f (x) =
{ x daca x < 1
x  2 daca x  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Exista doua puncte O(0, 0) si A(2, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
b) f este continua pe R si derivabila pe R n f1g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f ′(x) =
{ 1 daca x < 1
1 daca x > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
f ′
s(1) = 1, f ′
d(1) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c)
2∫
0
f (x) dx =
1∫
0
(x) dx +
2∫
1
(x  2) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
=
(
 x2
2
) 1
0
+
( x2
2  2x
) 2
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Integrala este egala cu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f ′(x) = 3x2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
g′(x) = (x  1)2ex
x2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
b) In =
1
n∫
0
xex dx =
1
n∫
0
x(ex)′ dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
= xexj
1
n
0  exj
1
n
0 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
In = e
1
n
( 1
n  1
)
+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c) lim
n!1 n2(In  1) = lim
n!1
e
1
n
1
n
(
1  1
n
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Limita ceruta este egala cu +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Barem · pagina 17

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 12
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
z = 1
2 + i
p3
2 si z = 1
2  i
p3
2 sunt radacinile complexe ale ecuatiei z3 + 1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . 2 p
z2016 = (z3)672 = 1 si z2016 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
z2016 + z2016 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Ra dacinile ecuatiei sunt x1 = 1, x2 = i, x3 = i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Suma x2016
1 + x2016
2 + x2016
3 = 1 + 1 + 1 = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Substitutia ex = t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Obtinerea ecuatiei t2  2t  8 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Obtinerea radacinilor t1 = 2, t2 = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
ex = 4, x = ln 4 solutie unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Binomul lui Newton (a + b)2n =
2n∑
k=0
Ck
2na2nkbk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Suma este egala cu (1  3)2n = 22n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Panta dreptei d este md = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Panta dreptei g este mg = md = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Ecuatia dreptei g este y  yA = mg(x  xA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Dupa calcule, ecuatia dreptei g este 2x + y  3 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Functia cos este strict descrescatoare pe [0, π]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
1, 2, 3 2 [0, π] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
cos 3 < cos 2 < cos 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) det(A  At) = det A  det At = (det A)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
det A = (a2  a1)(a3  a1)(a3  a2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
det(A  At) = [(a2  a1)(a3  a1)(a3  a2)]2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
b) det A = 2, A1 = 1
det A  A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Inversa este A1 =
0
B
B
@
3  5
2
1
2
3 4 1
1  3
2
1
2
1
C
C
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

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c) Sistemul liniar omogen este
8
<
:
x + y + z = 0
x + y + z = 0
x + y + z = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Rangul matricii sistemului este egal cu 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Solutia generala este
8
<
:
x = 0
y = α
z = α
, α 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f
(
 1
p2
)
= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
b) Radacinile reale a lui f sunt sunt x1 = x2 =  1
p2 , x3 = x4 = 1
p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
c) Descompunerea lui f ^n factori ireductibili ^n Z[X] este
f = (2X2  1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f ′(x) = 1 + ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
f ′′(x) = ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) g(x) = ex + ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
g′(x) = ex  ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
g′(x) = 0, x = 0 unicul punct critic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x = 0 punct de minim pentru g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c)
1∫
0
g(x) dx =
1∫
0
ex dx +
1∫
0
ex dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
= exj1
0  exj1
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
= e  1
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) lim
x↗0 xe 1
x = lim
y!1
(
 1
y ey
)
= 1, y =  1
x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
lim
x↘0 xe 1
x = lim
y!1
( 1
y ey
)
= 0, y = 1
x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) f ′(x) = x + 1
x  e 1
x , pentru orice x 2 R n f0g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f ′(x) = 0 , x = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
lim
x!1 xe 1
x = 1, lim
x!1 xe 1
x = +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
M (1, e) este unicul punct de extrem local (maxim) pentru f .
Functia f nu are puncte de extrem global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
c)
2∫
1
x2f
( 1
x
)
dx =
2∫
1
xex dx = 
2∫
1
x (ex)′ dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
=  xexj2
1 +
2∫
1
ex dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Valoarea integralei
1∫
1
f (x) dx este 2e  3
e2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

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