Concurs de pregătire · Matematică · 2014

Subiect · pagina 1

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
Concurs Mate-Info UBB, 29 martie 2014
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
SUBIECTUL I (30 puncte)
1. a) Fie α, β, γ ∈ R. Dac˘a α2 + β2 + γ2 = αβ + βγ + γα ar˘atat¸i c˘a α = β = γ.
b) Rezolvat¸i ˆın R ecuat¸ia 4x + 9x + 25x = 6x + 10x + 15x.
2. Fie polinomul f = X3 − 3X2 + aX + b. Determinat¸i numerele reale a ¸si b ¸stiind c˘a f
este divizibil cu X − 2 iar restul ˆımp˘art¸irii lui f la X + 1 este 11.
3. a) Fie M2(Z3) mult¸imea matricilor p˘atratice de ordinul 2 cu elemente din Z3. Determinat¸i
num˘arul elementelor mult¸imii M2(Z3).
b) Rezolvat¸i ˆın Z6 ecuat¸iâ x3 =̂ x.
SUBIECTUL II (30 puncte)
1. Se consider˘a punctele O(0, 0), A(3, 4) ¸si B(x, y). S˘a se determine numerele reale x, y
astfel ˆıncˆat triunghiul OAB s˘a fie echilateral.
2. Fie OAB un triunghi echilateral, unde O(0, 0), A(m, n) cu m, n ∈ N∗ ¸si B(x, y) cu
x, y ∈ (0, +∞). Demonstrat¸i c˘a B nu poate avea ambele coordonate numere naturale.
3. Rezolvat¸i ecuat¸ia min{sin x, cos x} = π
4 ˆın mult¸imea [0, 2π].
SUBIECTUL III (30 puncte)
Pentru fiecare triplet (a, b, c) de numere reale consider˘am funct¸ia f : R → R definit˘a prin
f (x) =
{ ax2 + bx + c dac˘a x < 0
2 sin x + cos x dac˘a x ≥ 0.
1. Determinat¸i toate tripletele (a, b, c) pentru care f este continu˘a pe R.
2. Determinat¸i toate tripletele (a, b, c) pentru care f este derivabil˘a pe R.
3. Ar˘atat¸i c˘a f este de dou˘a ori derivabil˘a pe R pentru un unic triplet (a, b, c) ¸si ˆın acest
caz calculat¸i ∫ π
−1 f ′′(x)dx.
NOT ˘A:
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.