Examen de admitere · Matematică, Informatică și Fizică · 2026

Subiect · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 2026
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2026
I. Algebr˘a. Pentru orice dou˘a matrice A, B ∈ M2(R) definim funct¸ia
fA,B : R → R, fA,B (x) = det(xA + B).
(a) Dac˘a A =
 2 −3
3 −1

¸si B =
 1 2
−2 3

ar˘atat¸i c˘a 2A = B − B2 ¸si c˘a inecuat¸ia fA,B (x) ≤ 49 (cu
necunoscuta x ∈ R) are cel put¸in o solut¸ie.
(b) Fie A, B ∈ M2(R) dou˘a matrice arbitrare. Ar˘atat¸i c˘a exist˘a num˘arul real m (ce depinde de
matricele A ¸si B) astfel ˆıncˆat
fA,B (x) = det(A)x2 + mx + det(B)
pentru orice x ∈ R.
(c) Date matricele A, B ∈ M2(R), ar˘atat¸i c˘a dac˘a fA,B este surjectiv˘a, atunci A nu este inversabil˘a.
Formulat¸i reciproca acestei afirmat¸ii ¸si justificat¸i dac˘a este adev˘arat˘a.
(d) Determinat¸i toate matricele A ∈ M2(R) pentru care mult¸imea MA = {sI2 + A | s ∈ R} este parte
stabil˘a a lui M2(R) ˆın raport cu ˆınmult¸irea matricelor. Demonstrat¸i apoi c˘a nu exist˘a o matrice A
pentru care mult¸imea MA s˘a fie grup cu operat¸ia de ˆınmult¸ire a matricelor.
II. Analiz˘a. Pentru orice n ∈ N∗ consider˘am funct¸ia fn : R \ {−1} −→ R, fn(x) = xn
x + 1. Fie
F : N∗ −→ R, F (n) =
Z 1
0
fn(x)dx.
(a) Determinat¸i asimptotele la graficele funct¸iilor f1, respectiv f2.
(b) Calculat¸i F (1) ¸si F (2).
(c) Ar˘atat¸i c˘a 1
2(n + 1) ≤ F (n) ≤ 1
2n ¸si c˘a 1
k + 1 ≤
Z k+1
k
1
xdx ≤ 1
k pentru orice n ¸si k din N∗.
(d) Demonstrat¸i c˘a 0 ≤
nX
k=1
1
k −ln n ≤ 1 pentru orice n ∈ N∗ ¸si calculat¸i lim
n→∞
F (1) + F (2) + . . . + F (n)
ln n .
III. Geometrie. ˆIn planul de coordonate xOy consider˘am punctele A(0, 2√3), B(−2, 0) ¸si C(2, 0).
Pe segmentele deschise AB, BC ¸si respectiv CA consider˘am punctele P, Q ¸si respectiv R astfel ˆıncˆat
AP
AB = BQ
BC = CR
CA = x.
(a) Determinat¸i m˘asurile unghiurilor triunghiului ABC, coordonatele centrului cercului circumscris
acestui triunghi ¸si lungimea razei acestui cerc.
(b) Dac˘a x = 3
4, determinat¸i coordonatele punctelor P, Q ¸si R ¸si demonstrat¸i c˘a centrele de greutate
ale triunghiurilor ABC ¸si P QR coincid.
(c) Dac˘a x = 2
3, exprimat¸i vectorii −→
P Q, −→
QR ¸si −→
RP ˆın funct¸ie de vectorii −→
AB ¸si −→
AC. Demonstrat¸i c˘a
dreptele AB ¸si P Q sunt perpendiculare.
(d) Dac˘a x ∈ (0, 1) este un num˘ar oarecare, demonstrat¸i c˘a 4S(P QR) ≥ S(ABC), unde S(P QR)
¸si S(ABC) sunt ariile triunghiurilor P QR ¸si ABC. Determinat¸i valoarea lui x pentru care aria
triunghiului P QR este minim˘a.

Subiect · pagina 2

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Subiect · pagina 3

Facultatea de Matematică s, i Informatică
Universitatea din Bucures, ti
Informatică - varianta 2
În cele ce urmează x div y s, i x mod y reprezintă câtul, respectiv restul împărt, irii
numărului natural x la numărul natural nenul y.
1. Care este numărul de muchii care trebuie eliminate dintr-un graf neorientat conex cu
26 de noduri, toate având gradul 20, astfel încât să se obt, ină un arbore?
A) 234 B) 235 C) 495 D) 494
2. Se consideră următorii patru algoritmi (A1 - A4), descris, i în pseudocod, în care varia-
bilele s, d, n s, i p sunt de tip întreg:
Algoritmul A1
cites, te n
s ← 0
d ← 2
cât timp n̸ = 1 execută
p ← 0
dacă n mod d = 0 atunci
p ← 1
n ← n div d
dacă p = 1 atunci
s ← s + d
d ← d + 1
scrie s
Algoritmul A2
cites, te n
s ← 0
d ← 2
cât timp n̸ = 1 execută
p ← 0
cât timp n mod d = 0 execută
p ← p + 1
n ← n div d
s ← s + d
d ← d + 1
scrie s
Algoritmul A3
cites, te n
s ← 0
d ← 2
cât timp n̸ = 1 execută
p ← 0
cât timp n mod d = 0 execută
p ← p + 1
n ← n div d
dacă p̸ = 0 atunci
s ← s + d
d ← d + 1
scrie s
Algoritmul A4
cites, te n
s ← 0
d ← 2
p ← 0
cât timp n̸ = 0 execută
cât timp n mod d = 0 execută
p ← p + 1
n ← n div d
dacă p̸ = 0 atunci
s ← s + d
d ← d + 1
scrie s
Care dintre algoritmii dat, i afis, ează în mod corect suma tuturor divizorilor primi ai
unui număr natural n ≥ 2?
A) A4 B) A1 C) A2 D) A3
1

Subiect · pagina 4

Facultatea de Matematică s, i Informatică
Universitatea din Bucures, ti
3. Considerăm următoarea funct, ie recursivă:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
int f(int x, int y)
{
if (x == 0)
return 1;
else
if(x%10 != x/y)
return 0;
else
return f(x%y/10, y/100);
}
function f(x, y: longint): longint;
begin
if x = 0 then
f := 1
else
if x mod 10 <> x div y then
f := 0
else
f := f(x mod y div 10, y div 100);
end;
Care este valoarea expresiei f(20262026, 10000000) + f(2026202, 1000000) +
f(716617, 100000) + f(6062606, 100000) + f(0,10) ?
A) 4 B) 1 C) 2 D) 3
4. Considerăm tabloul unidimensional a, cu 8 elemente numere naturale sortate strict
crescător, de forma a = [11, 14, 17, 23, x, 29, 45, 49], s, i tabloul unidimensional b, cu 7
elemente numere naturale sortate strict crescător, de forma b = [4, 8, 19, 21, y, z, 33].
Câte seturi de valori există pentru x, y s, i z astfel încât după aplicarea algoritmului de
interclasare pentru tablourile a s, i b, să se obt, ină un tablou unidimensional de forma
[4, 8, 11, 14, 17, 19, 21, 23, x, y, z, 29, 33, 45, 49],
care, de asemenea, să fie sortat strict crescător?
A) 7 B) 35 C) 60 D) 10
5. Se consideră următoarea expresie:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
x % 20 * x % 26 / 2 x mod 20 * x mod 26 div 2
Care este valoarea maximă a expresiei dacă x este un număr natural nenul de o cifră?
A) 0 B) 12 C) 81 D) 40
6. Se consideră următorul algoritm descris în pseudocod, în care variabilele n, c s, i i sunt
de tip întreg:
cites, te n
c ← 0
pentru i ← 1, n execută
dacă n mod i = 0 atunci
c ← c + 1
scrie c mod 2
Pentru câte numere întregi din intervalul [1, 2026] algoritmul va afis, a valoarea 1?
A) 43 B) 45 C) 44 D) 46
2

Subiect · pagina 5

Facultatea de Matematică s, i Informatică
Universitatea din Bucures, ti
7. Se consideră următoarea secvent, ă scrisă în pseudocod, în care variabilele i, j, s s, i n
sunt de tip întreg, t este un tablou bidimensional de numere naturale cu n linii s, i n
coloane, având liniile s, i coloanele numerotate de la 1, iar funct, ia abs(x) returnează
valoarea absolută a numărului întreg x:
n ← 7
pentru i ← 1, n execută
t[i, i] ← abs(n div 2 − i + 1)
pentru j ← i + 1, n execută
t[i, j] ← t[i, j − 1]
t[j, i] ← t[i, j]
s ← 0
pentru i ← 1, n execută
pentru j ← 1, n execută
dacă i = 1 sau j = 1 sau i = n sau j = n atunci
s ← s + t[i, j]
scrie s
Ce valoare va fi afis, ată după executarea secvent, ei de cod date?
A) 67 B) 39 C) 42 D) 54
8. Se consideră următoarea secvent, ă de program, în care variabilele i, j s, i k sunt de tip
întreg, iar variabilele s s, i t permit memorarea câte unui s, ir format din cel mult 100 de
caractere:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
strcpy(s, "decada");
strcpy(t, "");
for(i = 0; i < strlen(s); i++)
{
k = s[i] - 'a';
for(j = 0; j < k; j++)
strcat(t, s + i);
}
s := 'decada';
t := '';
for i := 1 to length(s) do
begin
k := ord(s[i]) - ord('a');
for j := 0 to k-1 do
t := t + copy(s, i, 100);
end;
Care va fi lungimea s, irului t după executarea secvent, ei date?
A) 73 B) 40 C) 52 D) 55
9. Folosind metoda backtracking, se generează tot, i vectorii de tat, i ai arborilor cu mult, imea
nodurilor {1, 2, 3, 4} s, i rădăcina 1, nodurile fiind considerate în ordinea 1, 2, 3, 4 în
procesul de generare. Dacă primii patru vectori de tat, i generat, i sunt, în această ordine:
(0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 2), (0, 1, 1, 3), (0, 1, 2, 1), care este a noua solut, ie generată?
A) (0, 3, 1, 1) B) (0, 1, 3, 2) C) (0, 1, 4, 3) D) (0, 3, 1, 2)
10. Se consideră următoarea declarare, unde s este o variabilă de tip segment, care memo-
rează în câmpurile sale p s, i q coordonatele carteziene ale celor două extremităt, i ale
3

Subiect · pagina 6

Facultatea de Matematică s, i Informatică
Universitatea din Bucures, ti
sale (în câmpul x se memorează abscisa punctului, însemnând coordonata sa pe axa
Ox, iar în y ordonata):
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
struct segment {
struct {
int x;
int y;
} p, q;
} s;
type segment = record
p, q: record
x: integer;
y: integer;
end;
end;
var s: segment;
De asemenea, se consideră următoarele patru expresii:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
E1) ((s.x.q-s.x.p)*(s.x.q-s.x.p)) == 1
E2) ((s.p.x-s.q.x)*(s.q.x-s.p.x)) == -1
E3) ((s.q.y-s.p.y)*(s.q.y-s.p.y)) == 1
E4) ((s.y.q-s.y.p)*(s.y.q-s.y.p)) == 1
E1) ((s.x.q-s.x.p)*(s.x.q-s.x.p)) = 1
E2) ((s.p.x-s.q.x)*(s.q.x-s.p.x)) = -1
E3) ((s.q.y-s.p.y)*(s.q.y-s.p.y)) = 1
E4) ((s.y.q-s.y.p)*(s.y.q-s.y.p)) = 1
S, tiind că în variabila s este memorat un segment paralel cu axa Ox, care dintre cele
patru expresii este adevărată (are valoarea 1 în C/C++, respectiv true în Pascal) dacă
s, i numai dacă acest segment are lungimea egală cu 1? Amintim că lungimea unui
segment cu extremităt, ile P(xp, yp) s, i Q(xq, yq) este
q
(xp − xq)2 + (yp − yq)2.
A) E4 B) E1 C) E2 D) E3
11. Fie v un tablou unidimensional, cu n elemente numere naturale, având pozit, iile nu-
merotate de la 1 la n. O pozit, ie k din tabloul v (1 ≤ k ≤ n) se numes, te balansată
dacă suma elementelor pare aflate înainte de pozit, ia k este egală cu suma elementelor
impare aflate după pozit, ia k (dacă nu există elemente cu proprietatea dorită, atunci
suma respectivă este 0). Considerând faptul că dimensiunea n s, i elementele tabloului
au fost citite, care este complexitatea timp a celui mai eficient algoritm care afis, ează
pozit, iile din tablou care sunt balansate?
A) O(n · log2 n) B) O(n) C) O(n2) D) O(1)
12. Se consideră următoarea secvent, ă în pseudocod, în care variabila i este de tip întreg, iar
v este un tablou unidimensional cu 10 elemente distincte din mult, imea {1, 2, . . . , 10},
având pozit, iile numerotate de la 1 (adică v este o permutare a mult, imii {1, 2, . . . , 10}):
pentru i ← 1 , 9 execută
dacă v[i] > v[i + 1] atunci
interschimbă v[i] s, i v[i + 1]
Fie x numărul de tablouri v cu proprietăt, ile precizate în enunt, pentru care, după
executarea secvent, ei date, tabloul v este ordonat crescător. Care dintre următoarele
afirmat, ii este adevărată despre x?
A) x ∈ (512, 10!] B) x ≤ 16 C) x ∈ (16, 256] D) x ∈ (256, 512]
4

Subiect · pagina 7

Facultatea de Matematică s, i Informatică
Universitatea din Bucures, ti
13. Considerăm următoarea funct, ie recursivă (reprezentată în pseudocod), în care x este
un număr întreg, iar funct, ia randInt(a, b) returnează un număr întreg aleatoriu din
intervalul [a, b]:
funct, ie foo(x)
dacă x ≤ 1 atunci
returnează x
altfel
returnează x + foo(randInt(0, x div 2))
Pentru un număr întreg dat N ≥ 2, care este intervalul de lungime minimă ce cont, ine
garantat toate valorile pe care le poate returna apelul foo(N)?
A)
N
2 , 2N

B)

N + 3, 3N
2

C) [N, 2N − 1] D) [N, N log2 N]
14. Se consideră un panou electric de formă matriceală, de dimensiune 2 × 2. În fiecare
celulă a panoului se află un bec s, i un comutator. Orice bec se poate afla într-una din
următoarele două stări: stins (stare codificată cu valoarea 0) sau aprins (stare codifi-
cată cu valoarea 1). La apăsarea unui comutator se schimbă starea tuturor becurilor
vecine pe orizontală sau pe verticală, fără a se schimba starea becului din aceeas, i ce-
lulă cu comutatorul apăsat. De exemplu, apăsarea comutatorului din colt, ul stânga-sus
transformă configurat, ia
1 0
0 0

în configurat, ia
1 1
1 0

. S, tiind că se pot efectua
oricâte apăsări (inclusiv niciuna), în orice ordine, pentru câte configurat, ii init, iale ale
celor patru becuri se poate obt, ine configurat, ia în care toate becurile sunt stinse?
A) 4 B) 6 C) 16 D) 8
15. Fie G un graf orientat având 10 vârfuri etichetate cu cuvintele parc, bariera, par, re,
arca, parcare, banca, arc, ar s, i apar, iar între două vârfuri distincte x s, i y există
un arc de la vârful x la vârful y dacă eticheta lui x este subcuvânt al etichetei lui y,
adică toate literele etichetei lui x apar în eticheta lui y în aceeas, i ordine s, i pe pozit, ii
consecutive. De exemplu, cuvântul arc este subcuvânt în cuvintele arcuit, marcat s, i
parc, dar nu este subcuvânt în cuvântul baraca. De asemenea, considerăm următoarele
afirmat, ii:
• în graful G există cel put, in un vârf cu gradul interior nul s, i gradul exterior nenul;
• în graful G există cel put, in un vârf cu gradul exterior nul s, i gradul interior nenul;
• în graful G nu există niciun vârf izolat;
• în graful G există cel put, in un circuit;
• vârful etichetat cu cuvântul arc are gradul interior egal cu 1 s, i gradul exterior
egal cu 3.
Câte dintre aceste afirmat, ii sunt adevărate?
A) 4 B) 1 C) 2 D) 3
5

Subiect · pagina 8

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Subiect · pagina 9

1 | P a g e
FIZICĂ – Varianta 2
1. O forță 𝐹 acționează asupra unui corp, deplasându-l de-a lungul axei 𝑂𝑥. Modulul forței variază liniar
cu coordonata 𝑥 conform relației: 𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 , unde 𝑎 = 2 Nm!" şi 𝑏 = 5 N. Să se determine
lucrul mecanic efectuat de această forță pentru a deplasa corpul din punctul 𝑥" = 0 m până în punctul
𝑥# = 4 m.
A) 𝐿 = 36 J B) 𝐿 = 52 J C) 𝐿 = 72 J D) 𝐿 = 20 J
2. Un autovehicul se deplaseză spre un bloc de locuinţe cu modulul vitezei 𝑉 faţă de acest bloc. Ce
orientare şi ce modul are viteza blocului de locuinţe faţă de autovehicul?
A) Blocul se mişcă
spre autovehicul cu
modulul vitezei 2𝑉
faţă de autovehicul
B) Blocul se mişcă spre
autovehicul cu modulul
vitezei 𝑉 faţă de
autovehicul
C) Blocul nu se mişcă
faţă de autovehicul
D) Blocul se mişcă
spre autovehicul cu
modulul vitezei $
#
faţă de autovehicul
3. Un corp cu masa 𝑚" se află pe un plan înclinat cu
unghiul 𝛼 față de orizontală. În vârful planului
înclinat este fixat un scripete ideal. Corpul cu
masă 𝑚" este legat de un corp cu masă 𝑚# , care
atârnă vertical în afara planului, printr-un fir ideal
(inextensibil și masă neglijabilă) trecut peste
scripete. Porțiunea de fir dintre corpul 1 și scripete
este paralelă cu fața planului. Coeficientul de
frecare la alunecare între corpul cu masă 𝑚" și
plan este 𝜇. Sistemul este lăsat liber și se mișcă
astfel încât corpul 2 coboară accelerat şi |𝑎"<<<<⃗ | =
|𝑎#<<<<⃗ |. Ce expresie are tensiunea 𝑇 în fir ?
A) 𝑇 =
&!&"'()*+ ,-. /0) ,)
&!-&"
B)𝑇 =
&!&"'("-)*+ ,-. /0) ,)
&!-&"
C)𝑇 =
&!&"'("!)*+ ,!. /0) ,)
&!-&"
D)𝑇 =
&!&"'("-/0) ,-. )*+ ,)
&!-&"
4. Dintr-un cub conductor se confecţionează doi rezistori cilindrici, identici, cu lungimea de n ori mai
mică decât latura cubului. Raportul între rezistenţa unuia dintre rezistorii cilindrici şi cea a cubului
între două feţe opuse are valoarea
A) !
"! B) #
"" C) #
"! D) #
$""
5. Într-o transformare izotermă a unei cantităţi de gaz ideal presiunea gazului scade de cinci ori. Ce se
întâmplă cu volumul gazului în această transformare?
A) Volumul creşte de
douăzeci şi cinci de ori
B) Volumul scade de
cinci ori
C) Volumul creşte
de cinci ori
D) Volumul scade de
douăzeci şi cinci de
ori

Subiect · pagina 10

2 | P a g e
6. Două corpuri cu mase 𝑚" și 𝑚# se află pe o suprafață orizontală fără frecare, fiind legate între ele
printr-un resort (cu masa neglijabilă) de constantă elastică 𝑘, inițial nedeformat. Corpului 1 i se
imprimă instantaneu o viteză inițială cu modulul 𝑉2 pe direcția resortului, spre corpul 2 care se află în
repaus. Să se determine comprimarea maximă Δ𝑥&34 a resortului în timpul mișcării ulterioare.
A) Δ𝑥&34 =
𝑉2A&!
5
B) Δ𝑥&34 =
&!&"$#
"
5(&!-&")
C) Δ𝑥&34 =
𝑉2A &!&"
5(&!-&")
D) Δ𝑥&34 = 𝑉2A&!-&"
5
7.
Bateriile din circuitul reprezentat în figură au tensiuni
electromotoare diferite, dar proporţionale cu rezistenţele
lor interne, constanta de proporţionalitate,
𝑐 = 4,5V ∙ W!", fiind aceeaşi pentru toate bateriile.
Rezistenţa electrică a firelor de conexiune este neglijabilă.
Circuitul disipă puterea 𝑃 = 10,1W. Rezistenţa electrică
R a circuitului şi tensiunea electrică 𝑈"# între punctele 1
şi 2 ale acestuia sunt date de
A)
𝑅 ≅ 0,5W
𝑈"# = 0V
B)
𝑅 ≅ 0,5W
𝑈"# = 9𝑉
C)
𝑅=4W
𝑈"# ≅ 5V
D)
𝑅 ≅ 2,25W
𝑈"# = 15,1V
8. Două mobile având modulele vitezelor iniţiale 𝑉2" şi 𝑉2# pleacă simultan unul spre celălalt şi se
întâlnesc la mijlocul distanţei dintre ele. Mobilul 1 se mişcă uniform încetinit iar mobilul 2 se mişcă
uniform accelerat. Modulele celor două acceleraţii sunt egale (|𝑎"<<<<⃗ | = |𝑎#<<<<⃗ | = 𝑎 ) . După cât timp se
întâlnesc?
A) 𝑡 = $#!-$#"
3 B) 𝑡 = $#!!$#"
3 C) 𝑡 = A$#!!$#"
3 D) 𝑡 = $#!!$#"
#3
9. O cantitate de gaz ideal ocupă un volum de 8,31 × 10!6 m6 la temperatura de 300 K şi presiunea de
2 × 107 Pa. Constanta universală a gazelor ideale are valoarea 8,31 J mol!" K!". Numărul de moli
de gaz este:
A) 3 moli B) 2 moli C) #
6 moli D) 0,75 moli
10. O cantitate fixată de gaz ideal parcurge un ciclu format dintr-o transformare izobară (1→2), o
transformare izocoră (2→3) și o transformare adiabatică (3→1). Dacă raportul volumelor în
transformarea izobară este $"
$!
= 𝑘 < 1, să se determine randamentul 𝜂 al ciclului în funcție de 𝑘 și de
exponentul adiabatic 𝛾 al gazului.
A) 𝜂 = 1 − 𝛾 5$!"
5!" B) 𝜂 = 1 − 5$!"
8(5!") C) 𝜂 = 1 − 5$%!!"
8(5!") D) 𝜂 = 1 − 𝛾 "!5
5!%$!5

Subiect · pagina 11

3 | P a g e
11. Într-o locuinţă se găsesc 10 aparate electrocasnice. Timpul de utilizare al fiecărui aparat a fost invers
proporţional cu puterea sa nominală, constanta de proporţionalitate c fiind aceeaşi pentru toate
aparatele. La un preţ de 2lei/kWh, locatarii au plătit pentru energia electrică consumată de
electrocasnice suma de 250 lei. Cât timp a fost utilizat frigiderul cu puterea 1kW?
A) 25h B) 12,5h C) 150h D) 7,5h
12. O cantitate fixată de gaz ideal biatomic (𝐶$ = 79
# ) efectuează un lucru mecanic de 500 J într-o
transformare izobară. Ce valoare are variaţia energiei interne a gazului în această transformare?
A) 1250 J B) 500 J C) 750 J D) 1750 J
13.
În circuitul din figură bateria este ideală şi 𝑅 = 10W. Puterea
electrică disipată de rezistenţa r are o valoare extremă.
Rezistenţa r este
A) 𝑟 = 6,7W B) 𝑟 = 5W C) 𝑟 = 10W D) 𝑟 = 3,3W
14.
Dintr-un conductor cu rezistenţa electrică R se
confecţionează o buclă închisă. Aceasta este apoi
conectată între două puncte a şi b ale sale, ca în figură,
la bornele unei baterii cu rezistenţa internă 𝑟 = 𝑅/20,
astfel încât puterea electrică disipată de buclă să fie
maximă. Raportul 𝐼# 𝐼"⁄ al intensităţilor curenţilor care
trec prin cele două ramuri ale buclei conectate între
punctele a şi b are valoarea
A) :"
:!
= 4 + 9√5 B) :"
:!
= 9 + 5√3 C) :"
:!
= 3 + 2√5 D) :"
:!
= 9 + 4√5
15. Care este relaţia dintre masa molară 𝜇 şi masa moleculară 𝑚2 a unei substanţe?
A) 𝑚2 = 𝜇𝑁; B) 𝜇 = 𝑚2 C) 𝜇 ⋅ 𝑚2 = 1 D) 𝜇 = 𝑚2𝑁;

Subiect · pagina 12

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Barem · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 17.07.2026
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2026
Barem
I. Algebr˘a. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Demonstrarea egalit˘at¸ii 2A = B − B2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Argumentarea faptului c˘a inecuat¸ia are solut¸ii reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(b) Explicitarea lui fA,B ca funct¸ie polinomial˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Identificarea coeficient¸ilor funct¸iei fA,B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Demonstrarea faptului c˘a A nu este inversabil˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Enunt¸area reciprocei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Justificarea faptului c˘a reciproca este fals˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(d) Demonstrarea faptului c˘a A este de forma λI2 pentru un λ ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrarea faptului c˘a (MA, ·) nu poate fi grup pentru nici o alegere a lui A . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
II. Analiz˘a. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Studierea asimptotelor la graficul funct¸iei f1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
Studierea asimptotelor la graficul funct¸iei f2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
(b) Calculul lui F (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul lui F (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Demonstrarea inegalit˘at¸ii 1
2(n + 1) ≤ F (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Demonstrarea inegalit˘at¸ii F (n) ≤ 1
2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrarea inegalit˘at¸ilor 1
k + 1 ≤
Z k+1
k
1
x dx ≤ 1
k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(d) Obt¸inerea inegalit˘at¸ii 0 ≤
nX
k=1
1
k − ln n ≤ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul limitei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
III. Geometrie. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Determinarea m˘asurilor unghiurilor triunghiului ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Determinarea coordonatelor centrului cercului circumscris triunghiului ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
Calcularea lungimii razei cercului circumscris triunghiului ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(b) Determinarea coordonatelor punctelor P, Q ¸si R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Demonstrarea faptului c˘a triunghiurile ABC ¸si P QR au acela¸si centru de greutate . . . . . . . . . . . . . 1 p

Barem · pagina 2

2
(c) Exprimarea vectorilor −→
P Q, −→
QR ¸si −→
RP ˆın funct¸ie de vectorii −→
AB ¸si −→
AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrarea perpendicularit˘at¸ii dreptelor AB ¸si P Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(d) Exprimarea ariei triunghiului P QR ˆın funct¸ie de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrarea inegalit˘at¸ii 4S(P QR) ≥ S(ABC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Determinarea valorii lui x pentru care aria triunghiului P QR este minim˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p
Orice rezolvare corect˘a este punctat˘a corespunz˘ator.