Pregătire cu un profesor

Concursul MateInfoUB 2025
- 17 mai 2025 -
Problema 1. a) Determinat¸i toate polinoamele P ∈ R[X] de grad trei astfel ˆıncˆat P (0) = 0, P (1) =
1, P (2) = 8, P (3) = 27.
b) Pentru un ¸sir oarecare S = (sn)n≥0, de numere reale, definim ¸sirul notat ∆S, ˆın care termenul de
ordin n este sn+1 − sn. Presupunem c˘a ¸sirul A = (an)n≥0 are proprietatea c˘a ∆(∆A) este ¸sir constant,
egal cu 2. Determinat¸i a25, dac˘a a2 = a5 = 0.
c) Fie f : N → R o funct¸ie cu proprietatea: exist˘a un polinom Q ∈ R[X], de grad 2, astfel c˘a
f (n + 1) − f (n) = Q(n), pentru orice num˘ar natural n. Demonstrat¸i c˘a exist˘a un polinom P ∈ R[X],
de grad 3, astfel ˆıncˆat f (n) = P (n), pentru orice num˘ar natural n.
d) Fie B = (bn)n≥0 un ¸sir cu proprietatea c˘a ∆(∆B) este o funct¸ie polinomial˘a de grad 2.
Demonstrat¸i c˘a mult¸imea valorilor termenilor acestui ¸sir nu poate cont¸ine toate numerele naturale.
Problema 2. Fie funct¸ia f : [0, 4] → R,
f (x) =
(2 + √4 − x2 , dac˘a x ∈ [0, 2]
p4 − (x − 2)2 , dac˘a x ∈ (2, 4]
¸si L regiunea din planul complex care const˘a din toate punctele z ∈ C∗ astfel ˆıncˆat z
4 ¸si 4
¯z au p˘art¸ile
reale ¸si imaginare ˆın intervalul [0, 1] (unde z reprezint˘a conjugatul num˘arului complex z).
a) Ar˘atat¸i c˘a f este continu˘a pe domeniul ei de definit¸ie ¸si c˘a f nu e derivabil˘a ˆın 2.
b) Calculat¸i
Z 4
0
f (x)dx.
c) Ar˘atat¸i c˘a L = {z = x + iy ∈ C∗ | x, y ∈ [0, 4], (x − 2)2 + y2 ≥ 4 ¸si x2 + (y − 2)2 ≥ 4}.
d) Determinat¸i aria mult¸imii L.
Subiectele continu˘a ¸si pe verso!

Subiect · pagina 2

Problema 3. Dreptunghiul ABCD cu lungimea a ¸si l˘at¸imea b (unde a, b ∈ N) este partit¸ionat ˆın
a × b p˘atr˘at¸ele de latur˘a 1. Not˘am cu O intersect¸ia diagonalelor dreptunghiului.
a) Pentru a = 10 ¸si b = 8, consider˘am tot¸i vectorii cu originea ˆın O ¸si cu extremitatea ˆın unul din
vˆarfurile p˘atr˘at¸elelor ˆın care este partit¸ionat dreptunghiul (desenul de mai jos prezint˘a patru astfel
de vectori). Calculat¸i modulul sumei tuturor acestor vectori.
b) Pentru a = 75 ¸si b = 45, determinat¸i num˘arul minim de p˘atrate cu care poate fi pavat drep-
tunghiul ABCD (pavarea unei suprafet¸e ˆınseamn˘a acoperirea complet˘a a suprafet¸ei respective, f˘ar˘a
suprapuneri ˆıntre ele ale figurilor componente ¸si f˘ar˘a dep˘a¸sirea marginilor dreptunghiului).
c) Pentru a = 135 ¸si b = 75, cˆate dintre p˘atr˘at¸elele de latur˘a 1 ce partit¸ioneaz˘a dreptunghiul
ABCD au proprietatea c˘a cel put¸in una dintre diagonalele dreptunghiului ABCD trece prin centrul
unui p˘atr˘at¸el (centrul unui p˘atr˘at¸el fiind punctul de intersect¸ie a diagonalelor sale)?
d) Fie a = 135 ¸si b = 75. ˆIn fiecare dintre p˘atr˘at¸elele ce partit¸ioneaz˘a dreptunghiul ABCD
construim cercul ˆınscris. Demonstrat¸i c˘a niciuna dintre diagonalele AC ¸si BD ale dreptunghiului
ABCD nu este tangent˘a la niciunul din aceste cercuri.
Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.

Deschide documentul original

Barem · 3 pagini

Barem · pagina 1

Concursul MateInfoUB 2025
- 17 mai 2025 -
Problema 1. a) Determinat¸i toate polinoamele P ∈ R[X] de grad trei astfel ˆıncˆat P (0) = 0, P (1) =
1, P (2) = 8, P (3) = 27.
b) Pentru un ¸sir oarecare S = (sn)n≥0, de numere reale, definim ¸sirul notat ∆S, ˆın care termenul de
ordin n este sn+1 − sn. Presupunem c˘a ¸sirul A = (an)n≥0 are proprietatea c˘a ∆(∆A) este ¸sir constant,
egal cu 2. Determinat¸i a25, dac˘a a2 = a5 = 0.
c) Fie f : N → R o funct¸ie cu proprietatea: exist˘a un polinom Q ∈ R[X], de grad 2, astfel c˘a
f (n + 1) − f (n) = Q(n), pentru orice num˘ar natural n. Demonstrat¸i c˘a exist˘a un polinom P ∈ R[X],
de grad 3, astfel ˆıncˆat f (n) = P (n), pentru orice num˘ar natural n.
d) Fie B = (bn)n≥0 un ¸sir cu proprietatea c˘a ∆(∆B) este o funct¸ie polinomial˘a de grad 2.
Demonstrat¸i c˘a mult¸imea valorilor termenilor acestui ¸sir nu poate cont¸ine toate numerele naturale.
Barem de punctaj pentru Problema 1:
din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
a) Identificarea polinomului Q(X) = P (X) − X3 care are r˘ad˘acinile 0, 1, 2, 3, sau a unui sistem de
ecuat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Finalizare: P (X) = X3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10p
b) ∆A este progresie aritmetic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
S¸irul A este o funct¸ie polinomial˘a, de grad 2, cu coeficient maximal egal cu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Calculul lui a25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Egalitatea f (n) = (Pn
k=0 Q(k)) + f (0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Descrierea polinomului P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
Gradul lui P este 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
d) S¸irul B este strict monoton de la un rang ˆıncolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
S¸irul B nu are ca valori toate numerele naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20p

Barem · pagina 2

Problema 2. Fie funct¸ia f : [0, 4] → R,
f (x) =
(2 + √4 − x2 , dac˘a x ∈ [0, 2]
p4 − (x − 2)2 , dac˘a x ∈ (2, 4]
¸si L regiunea din planul complex care const˘a din toate punctele z ∈ C∗ astfel ˆıncˆat z
4 ¸si 4
¯z au p˘art¸ile
reale ¸si imaginare ˆın intervalul [0, 1] (unde z reprezint˘a conjugatul num˘arului complex z).
a) Ar˘atat¸i c˘a f este continu˘a pe domeniul ei de definit¸ie ¸si c˘a f nu e derivabil˘a ˆın 2.
b) Calculat¸i
Z 4
0
f (x)dx.
c) Ar˘atat¸i c˘a L = {z = x + iy ∈ C∗ | x, y ∈ [0, 4], (x − 2)2 + y2 ≥ 4 ¸si x2 + (y − 2)2 ≥ 4}.
d) Determinat¸i aria mult¸imii L.
Barem de punctaj pentru Problema 2:
din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
a) Demonstrarea faptului c˘a f este continu˘a pe [0, 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Demonstrarea faptului c˘a f nu este derivabil˘a ˆın x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
b) Calculul R 2
0 f (x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15p
Calculul R 4
2 f (x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Deducerea faptului c˘a dac˘a z = x + iy ∈ L atunci x, y ∈ [0, 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
Deducerea faptului c˘a dac˘a z = x + iy ∈ L atunci (x − 2)2 + y2 ≥ 4 ¸si x2 + (y − 2)2 ≥ 4 . . . . . . . 10p
Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
d) Calculul ariei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20p

Barem · pagina 3

Problema 3. Dreptunghiul ABCD cu lungimea a ¸si l˘at¸imea b (unde a, b ∈ N) este partit¸ionat ˆın
a × b p˘atr˘at¸ele de latur˘a 1. Not˘am cu O intersect¸ia diagonalelor dreptunghiului.
a) Pentru a = 10 ¸si b = 8, consider˘am tot¸i vectorii cu originea ˆın O ¸si cu extremitatea ˆın unul din
vˆarfurile p˘atr˘at¸elelor ˆın care este partit¸ionat dreptunghiul (desenul de mai jos prezint˘a patru astfel
de vectori). Calculat¸i modulul sumei tuturor acestor vectori.
b) Pentru a = 75 ¸si b = 45, determinat¸i num˘arul minim de p˘atrate cu care poate fi pavat drep-
tunghiul ABCD (pavarea unei suprafet¸e ˆınseamn˘a acoperirea complet˘a a suprafet¸ei respective, f˘ar˘a
suprapuneri ˆıntre ele ale figurilor componente ¸si f˘ar˘a dep˘a¸sirea marginilor dreptunghiului).
c) Pentru a = 135 ¸si b = 75, cˆate dintre p˘atr˘at¸elele de latur˘a 1 ce partit¸ioneaz˘a dreptunghiul
ABCD au proprietatea c˘a cel put¸in una dintre diagonalele dreptunghiului ABCD trece prin centrul
unui p˘atr˘at¸el (centrul unui p˘atr˘at¸el fiind punctul de intersect¸ie a diagonalelor sale)?
d) Fie a = 135 ¸si b = 75. ˆIn fiecare dintre p˘atr˘at¸elele ce partit¸ioneaz˘a dreptunghiul ABCD
construim cercul ˆınscris. Demonstrat¸i c˘a niciuna dintre diagonalele AC ¸si BD ale dreptunghiului
ABCD nu este tangent˘a la niciunul din aceste cercuri.
Barem de punctaj pentru Problema 3:
din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
a) Alegerea unui reper cartezian convenabil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Finalizare: modulul sumei c˘autate este 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
b) Construirea unei pav˘ari cu 4 p˘atrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20p
Demonstrarea faptului c˘a nu se poate pava cu mai put¸in de 4 p˘atrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10p
c) Calculul num˘arului de p˘atr˘at¸ele care au centrul pe o diagonal˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Observarea simetriei ¸si calculul num˘arului de p˘atr˘at¸ele de pe cealalt˘a diagonal˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
d) Demonstrarea faptului c˘a o diagonal˘a nu este tangent˘a la niciunul din cercuri . . . . . . . . . . . . . . . 15p
Demonstrarea faptului c˘a cealalt˘a diagonal˘a nu este tangent˘a la niciunul din cercuri . . . . . . . . . . . . 5p

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2025Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 1; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 2; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 3; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 4; broșură comunăDeschide fișa Concurs de pregătire · 2025Informatică · Etapa a II-aDeschide fișa Model de pregătire · 2025Informatică · Culegere oficială cu probleme rezolvate din edițiile 2021–2024, 162 de paginiDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2025 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2025

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1

Subiect · pagina 2

Barem · pagina 1

Barem · pagina 2

Barem · pagina 3

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?