Pregătire cu un profesor

Concursul MateInfoUB 2024
- 18 mai 2024 -
Problema 1. Fie A =
( a b
c d
)
∈ M2(Z); spunem c˘a A e m˘arginit˘a dac˘a exist˘a un num˘ar real
pozitiv C astfel ˆıncˆat max{|an|, |bn|, |cn|, |dn|} < C pentru orice num˘ar natural nenul n, unde
An =
( an bn
cn dn
)
.
.
a) Dac˘a A e m˘arginit˘a ar˘atat¸i c˘a A2 e m˘arginit˘a.
b) Fie A ∈ M2(Z) cu det(A) = 0; ar˘atat¸i c˘a exist˘a λ ∈ Z astfel ˆıncˆat A2 = λA. Ar˘atat¸i c˘a dac˘a, ˆın
plus, A e m˘arginit˘a atunci An+2 = An pentru orice n ≥ 2.
c) Fie B ∈ M2(Z) cu det(B) 6 = 0. Ar˘atat¸i c˘a B este m˘arginit˘a dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a n ∈ N∗
astfel ˆıncˆat Bn = I2 (unde I2 este matricea identitate).
d) Demonstrat¸i c˘a, dac˘a D ∈ M2(Z) este o matrice m˘arginit˘a, atunci mult¸imea {Dn|n ∈ N∗} are
cel mult 6 elemente.
Problema 2. Consider˘am mult¸imile
M = {f : [0, 1] → R |f este de dou˘a ori derivabil˘a, f ′′ continu˘a ¸si f ′(0) = f ′(1) = f (0) = 0, f (1) = 1},
N = {g : [0, 1] → R |g continu˘a,
1∫
0
g(x)dx = 0,
1∫
0
xg(x)dx = 1}.
a) Fie a, b ∈ R, a 6 = 0 ¸si g0 : [0, 1] → R, g0(x) = ax + b. Determinat¸i a ¸si b astfel ˆıncˆat g0 ∈ N .
b) Demonstrat¸i c˘a pentru orice g ∈ N , funct¸ia f : [0, 1] → R, f (x) =
∫ x
0
(t − x)g(t)dt, apart¸ine
lui M.
c) Fie f ∈ M ¸si k > 0 astfel ˆıncˆat |f ′′(x)| ≤ k pentru orice x ∈ [0, 1]. Ar˘atat¸i c˘a pentru orice
x ∈ [0, 1] avem |f ′(x)| ≤ k min{x, 1 − x} ¸si apoi, utilizˆand eventual aceast˘a inegalitate, demonstrat¸i
c˘a |f (x)| ≤ k
4 .
d) Demonstrat¸i c˘a pentru orice f ∈ M ¸si g ∈ N exist˘a x0, y0 ∈ [0, 1] astfel ˆıncˆat |f ′′(x0)| ≥ 4 ¸si
|g(y0)| ≥ 4.
Subiectele continu˘a ¸si pe verso!

Subiect · pagina 2

Problema 3. ˆIn interiorul triunghiului ABC se alege la ˆıntˆamplare punctul D. Paralelele duse prin
D la BC, CA, respectiv AB intersecteaz˘a laturile triunghiului ˆın punctele P ¸si S, N ¸si R, respectiv
M ¸si Q (unde M, N ∈ BC; P, Q ∈ AC; R, S ∈ AB).
Demonstrat¸i c˘a:
a) suma perimetrelor triunghiurilor DM N , DP Q ¸si DRS este egal˘a cu perimetrul triunghiului ABC;
b) dac˘a D este centrul de greutate al triunghiului ABC atunci el este centru de greutate ¸si al tri-
unghiului M P R;
c) dac˘a triunghiurile M P R ¸si SN Q au acela¸si centru de greutate, atunci acesta coincide cu D;
d) suma ariilor triunghiurilor DM N , DP Q ¸si DRS este cel put¸in o treime din aria triunghiului ABC,
iar aria triunghiului M P R este cel mult egal˘a cu o treime din aria triunghiului ABC.
Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.

Deschide documentul original

Barem · 3 pagini

Barem · pagina 1

Concursul MateInfoUB 2024
- 18 mai 2024 -
Problema 1. Fie A =
( a b
c d
)
∈ M2(Z); spunem c˘a A e m˘arginit˘a dac˘a exist˘a un num˘ar real
pozitiv C astfel ˆıncˆat max{|an|, |bn|, |cn|, |dn|} < C pentru orice num˘ar natural nenul n, unde
An =
( an bn
cn dn
)
.
.
a) Dac˘a A e m˘arginit˘a ar˘atat¸i c˘a A2 e m˘arginit˘a.
b) Fie A ∈ M2(Z) cu det(A) = 0; ar˘atat¸i c˘a exist˘a λ ∈ Z astfel ˆıncˆat A2 = λA. Ar˘atat¸i c˘a dac˘a, ˆın
plus, A e m˘arginit˘a atunci An+2 = An pentru orice n ≥ 2.
c) Fie B ∈ M2(Z) cu det(B) 6 = 0. Ar˘atat¸i c˘a B este m˘arginit˘a dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a n ∈ N∗
astfel ˆıncˆat Bn = I2 (unde I2 este matricea identitate).
d) Demonstrat¸i c˘a, dac˘a D ∈ M2(Z) este o matrice m˘arginit˘a, atunci mult¸imea {Dn|n ∈ N∗} are
cel mult 6 elemente.
Barem de punctaj pentru Problema 1:
din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
a) S¸irurile {|a2n|, |b2n|, |c2n|, |d2n|} sunt sub¸siruri respectiv ale ¸sirurilor {|an|, |bn|, |cn|, |dn|} . . . . . 10p
Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
b) Demonstreaz˘a existent¸a lui λ (de exemplu, utilizˆand teorema Cayley-Hamilton) . . . . . . . . . . . . .10p
A m˘arginit˘a ⇒ λ ∈ {0, −1, 1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
c) Justific˘a implicat¸ia direct˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15p
Justific˘a implicat¸ia invers˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
d) Justificarea ˆın cazul det(D) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
Determinarea posibililor coeficient¸i ai polinomului caracteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

Barem · pagina 2

Problema 2. Consider˘am mult¸imile
M = {f : [0, 1] → R |f este de dou˘a ori derivabil˘a, f ′′ continu˘a ¸si f ′(0) = f ′(1) = f (0) = 0, f (1) = 1},
N = {g : [0, 1] → R |g continu˘a,
1∫
0
g(x)dx = 0,
1∫
0
xg(x)dx = 1}.
a) Fie a, b ∈ R, a 6 = 0 ¸si g0 : [0, 1] → R, g0(x) = ax + b. Determinat¸i a ¸si b astfel ˆıncˆat g0 ∈ N .
b) Demonstrat¸i c˘a pentru orice g ∈ N , funct¸ia f : [0, 1] → R, f (x) =
∫ x
0
(t − x)g(t)dt, apart¸ine
lui M.
c) Fie f ∈ M ¸si k > 0 astfel ˆıncˆat |f ′′(x)| ≤ k pentru orice x ∈ [0, 1]. Ar˘atat¸i c˘a pentru orice
x ∈ [0, 1] avem |f ′(x)| ≤ k min{x, 1 − x} ¸si apoi, utilizˆand eventual aceast˘a inegalitate, demonstrat¸i
c˘a |f (x)| ≤ k
4 .
d) Demonstrat¸i c˘a pentru orice f ∈ M ¸si g ∈ N exist˘a x0, y0 ∈ [0, 1] astfel ˆıncˆat |f ′′(x0)| ≥ 4 ¸si
|g(y0)| ≥ 4.
Barem de punctaj pentru Problema 2:
din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
a) Determinarea condit¸iilor pentru a ¸si b astfel ˆıncˆat g0 ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Determinarea a ¸si b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
b) Demonstrarea faptului c˘a f e derivabil˘a ¸si calculul lui f ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Demonstrarea faptului c˘a f e de dou˘a ori derivabil˘a ¸si calculul lui f ′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Verificarea celorlalte condit¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
c) Demonstrarea primei inegalit˘at¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Demonstrarea celei de-a doua inegalit˘at¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10p
d) Justificarea existent¸ei lui x0 ca ˆın enunt¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Justificarea existent¸ei lui y0 ca ˆın enunt¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p

Barem · pagina 3

Problema 3. ˆIn interiorul triunghiului ABC se alege la ˆıntˆamplare punctul D. Paralelele duse prin
D la BC, CA, respectiv AB intersecteaz˘a laturile triunghiului ˆın punctele P ¸si S, N ¸si R, respectiv
M ¸si Q (unde M, N ∈ BC; P, Q ∈ AC; R, S ∈ AB).
Demonstrat¸i c˘a:
a) suma perimetrelor triunghiurilor DM N , DP Q ¸si DRS este egal˘a cu perimetrul triunghiului ABC;
b) dac˘a D este centrul de greutate al triunghiului ABC atunci el este centru de greutate ¸si al tri-
unghiului M P R;
c) dac˘a triunghiurile M P R ¸si SN Q au acela¸si centru de greutate, atunci acesta coincide cu D;
d) suma ariilor triunghiurilor DM N , DP Q ¸si DRS este cel put¸in o treime din aria triunghiului ABC,
iar aria triunghiului M P R este cel mult egal˘a cu o treime din aria triunghiului ABC.
Barem de punctaj pentru Problema 3:
din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
a) Identificarea tuturor congruent¸elor de tipul : SD = BM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
b) Caracterizarea vectorial˘a a centrului de greutate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Finalizare: D este centrul de greutate al triunghiului M P R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
c) Scrierea unei relat¸ii vectoriale ˆın care apare centrul comun de greutate G ¸si punctul D . . . . . . . 10p
Finalizare D = G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
d) Justificarea faptului c˘a triunghiurile DM N, QDP, RSD, ABC sunt asemenea ¸si utilizarea relat¸iei:
raportul ariilor este egal cu p˘atratul raportului de asem˘anare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Utilizarea unei inegalit˘at¸i de tipul: 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 ¸si obt¸inerea concluziei despre suma
ariilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Descompunerea triunghiului M P R ˆın trei triunghiuri cu un vˆarf ˆın D ¸si obt¸inerea concluziei despre
aria triunghiului M P R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2024Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 1; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 2; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 3; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 4; broșură comunăDeschide fișa Concurs de pregătire · 2024Informatică · Etapa a II-aDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 1; broșură comunăDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2024 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2024

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1

Subiect · pagina 2

Barem · pagina 1

Barem · pagina 2

Barem · pagina 3

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?