Examen de admitere · Matematică, Informatică și Fizică · 2023

Subiect · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 12.07.2023
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2023
I. Algebr˘a. Fie matricea A =
( 4 2
−3 −1
)
∈ M2(R) ¸si
T = {xI2 + yA | x, y ∈ Z},
unde I2 este matricea unitate de ordinul 2.
(a) Demonstrat¸i egalitatea: A2 = 3A − 2I2.
Determinat¸i num˘arul real α ∈ R pentru care (I2 − A)2 = α(I2 − A).
(b) Demonstrat¸i c˘a
( 2 2
−3 −3
)
∈ T , apoi verificat¸i dac˘a
( 4 4
−6 −3
)
∈ T .
(c) Ar˘atat¸i c˘a, pentru orice num˘ar natural n, n ≥ 1, exist˘a un num˘ar natural nenul xn astfel ˆıncˆat
An = xnA + (1 − xn)I2.
(d) Verificat¸i c˘a mult¸imea {I2 − A; −I2 + A} este grup ˆın raport cu operat¸ia de ˆınmult¸ire a ma-
tricelor. Determinat¸i apoi toate submult¸imile cu dou˘a elemente ale lui T , care sunt grupuri ˆın
raport cu operat¸ia de ˆınmult¸ire a matricelor.
II. Analiz˘a. Fie funct¸ia f : R −→ R definit˘a prin f (x) = arctg x − x.
(a) Demonstrat¸i c˘a funct¸ia f este descresc˘atoare pe R. Determinat¸i apoi toate asimptotele la
graficul funct¸iei f .
(b) Demonstrat¸i c˘a
∫ 1
0
xf (x)dx = 3π − 10
12 .
(c) Ar˘atat¸i c˘a x − x3
3 ≤ arctg x ≤ x, pentru orice x ∈ [0, ∞).
(d) Calculat¸i limita
lim
n→∞
(
arctg
( 1
n2
)
+ arctg
( 2
n2
)
+ · · · + arctg
( n
n2
))
.
III. Geometrie. Fie paralelogramul ABCD.
(a) Definim punctele M ¸si N astfel ˆıncˆat −→
AM = 1
3
−→
AB ¸si −→
AN = 1
4
−→
AC. Demonstrat¸i c˘a
−→
DN = −3
4
−→
AD +1
4
−→
AB .
G˘asit¸i a, b ∈ R astfel ˆıncˆat −→
M N = a −→
AD +b −→
AB.
(b) Demonstrat¸i c˘a pentru orice punct P din planul paralelogramului este adev˘arat˘a relat¸ia
−→
P A + −→
P C= −→
P D + −→
P B .
(c) Demonstrat¸i c˘a este adev˘arat˘a relat¸ia
AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2).
(d) Calculat¸i m˘asurile unghiurilor paralelogramului ABCD dac˘a este adev˘arat˘a relat¸ia
AC2 · BD2 = AB4 + AD4.

Subiect · pagina 2

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Subiect · pagina 3

1
INFORMATICĂ – Varianta 3
În cele ce urmează x div y și x mod y reprezintă câtul și restul împărțirii numărului natural x la numărul natural nenul y.
1. Fie v un vector cu 1 milion de elemente, toate inițializate cu 0 și cu pozițiile numerotate de la 1. Se consideră următoarea
secvență de pseudocod, în care variabilele i, j, n și nr sunt toate de tip întreg:
citeşte n
nr ß 0
┌pentru i ß 2,n-1 execută
│ ┌dacă v[i] = 0 atunci
│ │ v[i*i] ß 2
│ │ j ß i+1
│ │ ┌cât timp j*i < n execută
│ │ │ v[i*j] ß 1
│ │ │ j ß j+1
│ │ └■
│ └■
│ ┌dacă v[i] = 2 atunci
│ │ nr ß nr+1
│ └■
└■
scrie nr
Precizați ce va afișa secvența de pseudocod de mai sus, dacă pentru variabila n se va citi valoarea 256:
A) 8 B) 12 C) 0 D) 6
2. Se consideră următoarea secvență de cod, în care variabila k este de tip întreg, iar variabilele s și p pot memora fiecare
câte un șir format din cel mult 20 de caractere:
strcpy(s,"admitere2023");
for(k=1;k<strlen(s);k++){
strcpy(p,s);
p[k]='\0';
strcpy(s,s+k);
strcat(s,p);
}
cout<<s[0]; | printf("%c",s[0]);
s:='admitere2023';
for k:=1 to length(s)-1 do
begin
p:=copy(s, 1, k);
delete(s, 1, k);
s:=s + p;
end;
write(s[1]);
Care este caracterul afișat în urma executării acestei secvențe de cod?
A) 2 B) r C) a D) e
3. Câte dintre următoarele afirmații sunt adevărate pentru arborele reprezentat prin vectorul de tați (5, 11, 9, 5, 2, 3, 2, 1,
2, 7, 0)?
• lungimea maximă a unui lanț elementar este 6
• nodul 2 are 9 descendenți direcți
• nodul 1 are 3 frați
• arborele are 5 noduri de grad 1
A) 2 B) 3 C) 0 D) 1
4. Considerăm șirul infinit de numere s1, s2, s3, … obținut astfel: i) primul termen s1 este un număr dat din intervalul [1,49];
ii) al doilea termen s2 se calculează folosind formula s2 = 2* s1 – (s1 mod 10) + 1; iii) ceilalți termeni si, cu i ≥ 3, se
obțin prin alipirea termenilor si-1 şi si-2. Astfel, dacă se alege s1 = 1 vom avea s2 = 2, s3 = 21, s4 = 212, s5 = 21221 etc.
Care dintre următoarele valori nu poate fi numărul de cifre ale unui termen si al șirului, indiferent de valoarea dată
primului termen?
A) 110 B) 184 C) 377 D) 288

Subiect · pagina 4

2
5. În următorul algoritm descris (incomplet) în pseudocod variabilele i, j, n, x și ok sunt de tip întreg, a este o matrice
de numere întregi cu n linii și n coloane (n³2), având liniile și coloanele numerotate de la 1 la n, iar
expresie_logica_1 și expresie_logica_2 sunt două expresii logice care vor fi înlocuite cu expresii date.
ok ß 0
x ß 0
┌pentru i ß 1,n execută
│ ┌pentru j ß 1,n execută
│ │ x ß x + a[i,j]
│ │ ┌dacă expresie_logica_1 atunci
│ │ │ ok ß 1
│ │ └■
│ └■
└■
┌dacă expresie_logica_2
│ atunci
│ scrie "da"
│ altfel
│ scrie "nu"
└■
Se înlocuiesc, pe rând, expresie_logica_1 și expresie_logica_2 cu următoarele expresii, obținând-se patru
algoritmi în pseudocod astfel:
• Algoritmul 1: se înlocuiește expresie_logica_1 cu expresia a[i,j] = 0, iar expresie_logica_2 cu
expresia ok = 1
• Algoritmul 2: se înlocuiește expresie_logica_1 cu expresia a[i,j] ≥ 0, iar expresie_logica_2 cu
expresia (x = 0) și (ok = 1)
• Algoritmul 3: se înlocuiește expresie_logica_1 cu expresia a[i,j] < 0, iar expresie_logica_2 cu
expresia (x = 0) și (ok = 0)
• Algoritmul 4: se înlocuiește expresie_logica_1 cu expresia a[i,j] ¹ a[1,1], iar expresie_logica_2
cu expresia (ok = 0) și (a[1,1] = 0)
Câți dintre cei patru algoritmi obținuți afișează mesajul "da" dacă și numai dacă toate elementele matricei a sunt
egale cu 0?
A) 3 B) 4 C) 1 D) 2
6. În următoarea secvență de cod variabilele i, j și k sunt de tip întreg, iar n este un număr natural citit de la tastatură.
Care este complexitatea timp a acestei secvențe de cod?
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
k = 0;
for (i = n / 2; i <= n; i++)
for (j = 2; j <= n; j = j * 2)
k = k + n / 2;
k := 0;
for i:=n div 2 to n do
begin
j:=2;
while j<=n do
begin
k := k + n div 2;
j:=j*2;
end;
end;
A) O(n2) B) O(n2·log2n) C) O(n) D) O(n·log2n)

Subiect · pagina 5

3
7. Care din următoarele secvențe de pseudocod afișează DA numai în cazul în care numărul natural n ≥ 2 este prim?
(1) i ß 1
cnt ß 0
┌cât timp i < n execută
│ ┌dacă n mod i = 0 atunci
│ │ cnt ß cnt + 1
│ └■
│ i ß i + 1
└■
┌dacă cnt = 2 atunci
│ scrie "DA"
└■
(2) i ß 2
cnt ß 0
┌cât timp i * i < n execută
│ ┌dacă n mod i = 0 atunci
│ │ cnt ß cnt + 1
│ └■
│ i ß i + 1
└■
┌dacă cnt = 0 atunci
│ scrie "DA"
└■
(3) i ß 2
cnt ß 1
┌cât timp i ≤ n execută
│ ┌dacă n mod i = 0 atunci
│ │ cnt ß cnt + 1
│ └■
│ i ß i + 1
└■
┌dacă cnt = 2 atunci
│ scrie "DA"
└■
(4) i ß 1
cnt ß 0
┌cât timp i * i ≤ n execută
│ ┌dacă n mod i = 0 atunci
│ │ cnt ß cnt + 1
│ └■
│ i ß i + 1
└■
┌dacă cnt = 0 atunci
│ scrie "DA"
└■
A) 3 B) 4 C) 1 D) 2
8. Considerăm următorul algoritm:
citeşte a, b (numere naturale nenule)
┌pentru k ß 1, a+b execută
│ ┌dacă a mod k + b mod k = 0 atunci
│ │ c ß (a div k) * b
│ └■
└■
scrie c
Precizați ce va afișa întotdeauna algoritmul de mai sus:
A) cel mai mare divizor al numărului a*b B) cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b
C) (a * b) div (a + b) D) cel mai mare divizor comun al numerelor a și b
9. Considerăm următoarea funcție recursivă:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
int t(int n, int i, int p)
{
if(p == n)
return 1;
if(p > n)
return 0;
return t(n, i+1, p*i);
}
function t(n, i, p: integer):integer;
begin
if p = n then
t := 1
else
if p > n then
t := 0
else
t := t(n, i+1, p*i);
end;
Pentru câte numere naturale nenule k ≤ 25 funcția va furniza valoarea 1 în urma apelului t(k, 1, 1)?
A) 5 B) 7 C) 4 D) 3

Subiect · pagina 6

4
10. Folosind metoda backtracking se generează toate matricele pătratice de dimensiune 4 cu elemente din mulțimea {0, 1}
cu proprietatea că pe fiecare linie și pe fiecare coloană există un unic element egal cu 1. Știind că în șirul matricelor
generate primele 6 matrice sunt în ordine:
pe ce poziție în șirul matricelor generate este matricea de mai jos (pozițiile se numerotează de la 1)?
A) 10 B) 7 C) 8 D) 9
11. Ana și Bogdan au o pungă cu N ≥ 1 bomboane și joacă următorul joc care are mai multe runde. La fiecare rundă,
jucătorul curent trebuie să extragă un număr de bomboane egal cu o putere a lui 2 (1, 2, 4, 8, etc.) din cele rămase din
pungă. Jucătorul al cărui rând vine și nu mai poate extrage bomboane pierde. Primul jucător este întotdeauna Ana.
Fiecare jucător joacă perfect, în sensul în care, dacă există o strategie care să îi garanteze câștigul, jucătorul o va urma.
Spre exemplu, dacă N = 1 sau N = 2 Ana va câștiga întotdeauna întrucât poate extrage 1 = 20 sau 2 = 21 bomboane, iar
Bogdan nu mai poate extrage. Dacă N = 3 Ana poate extrage 1 sau 2 bomboane, dar apoi Bogdan va extrage pe cele
rămase și astfel va câștiga. Dacă Ana și Bogdan joacă în total 5 jocuri, cu N având pe rând valorile 10, 15, 23, 35, 44
pentru fiecare din cele 5 jocuri, câte jocuri câștigă Ana?
A) 4 B) 5 C) 2 D) 3
12. Se consideră vectorul v = [5, -5, 3, -3, 1, -2, 2, -4, 4]. O schimbare de semn asupra elementelor lui v înseamnă înmulțirea
unui singur element din v cu -1. Se efectuează asupra elementelor lui v exact 15 de schimbări de semn (putem schimba
semnul unui element v[i] de mai multe ori). Care este suma maximă a elementelor vectorului v astfel obținut?
A) 25 B) 29 C) 23 D) 27
13. Bogdan și-a pus o parolă la jocul său preferat. Ana a aflat că parola lui este formată din 4 caractere și conține numai
literele mari ale alfabetului englez (A-Z) care au codul ASCII un număr divizibil cu 5. Ana vrea să îi ghicească parola
și știe că litera A are codul ASCII 65, iar litera Z are codul ASCII 90. Care este numărul maxim de parole greșite diferite
pe care le poate încerca Ana (dar care respectă condițiile aflate) înainte de a ghici parola?
A) 14 B) 720 C) 1295 D) 29
14. Fie G graful neorientat cu mulțimea nodurilor V={1, 2, 3, …, 23} și mulțimea muchiilor descrisă de următoarea
proprietate: două noduri distincte i și j din V sunt adiacente dacă și numai dacă i și j au cel puțin un divizor comun
mai mare strict decât 1. Câte componente conexe are graful G?
A) 5 B) 9 C) 6 D) 10
15. În urma participării la Concursul MateInfoUB între elevii participanți s-au legat 2023 de prietenii reciproce. Dacă 83
de elevi s-au împrietenit fiecare cu exact 3 elevi, 98 elevi s-au împrietenit fiecare cu exact 4 elevi, iar restul s-au
împrietenit fiecare cu alți 5 elevi, atunci numărul elevilor participanți la concurs a fost:
A) 681 B) 862 C) 457 D) 865
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
, , , , ,
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø è ø è ø
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø

Subiect · pagina 7

1
FIZICĂ – Varianta 3
1. O pisică cu masa 𝑚 = 1 kg urcă pe o frânghie de masă
negijabilă trecută peste un scripete de masă neglijabilă, care se
poate roti fară frecare în lagărul său. Capătul opus al frânghiei
este legat de un corp de masă 𝑀 = 1 kg, care alunecă fără frecare
pe un plan orizontal, vezi desenul alăturat. Consideraţi că în
timpul mişcării pisicii frânghia rămâne în poziţia verticală
iniţială (frânghia nu oscilează) şi acceleraţia gravitaţională este
10 ms!". Care este tensiunea din frânghie când pisica urcă pe
frânghie cu accelerația 𝑎# = 2 ms!" față de frânghie?
A) 8 N B) 10 N C) 4 N D) 6 N
2. O cantitate fixată de gaz ideal monoatomic efectuează procesul ciclic
reprezentat în figura alăturată. Transformarea este o destindere
izotermă. În aproximaţia , randamentul acestui ciclu
termodinamic este:
A) 0,295 B) 0,186 C) 0,134 D) 0,326
3. Un elev desenează în coordonate (p,V) două curbe care reprezintă transformări cvasistatice ale unei cantităţi
fixate de gaz ideal. O transformare este adiabatică şi cealaltă izotermă. Un coleg constată că cele două curbe se
intersectează în două puncte. Patru elevi comentează acest grafic făcând afirmaţii diferite. Primul elev spune că
cele două curbe nu se pot intersecta decât într-un singur punct pentru că dacă s-ar intersecta în două puncte nu
ar fi respectat Principiul al II-lea al termodinamicii. Al doilea elev afirmă că cele două curbe se pot intersecta
în oricât de multe puncte depinzând de cât de mare este volumul gazului. Al treilea elev afirmă că cele două
curbe se intersectează totdeauna în două puncte dar că în manuale şi culegeri apare numai un punct pentru că
presiunea la care apare cealaltă intersecţie este prea mică faţă de presiunile cu care se lucrează uzual. Al patrulea
elev afirmă că în ambele transformări căldura schimbată de gaz este zero şi din acest motiv cele două curbe nu
trebuie să se intersecteze. Care dintre elevi a făcut o afirmaţie corectă?
A) Primul elev B) Al doilea elev C) Al treilea elev D) Al patrulea elev
4. Nouă rezistori sunt conectaţi ca în figură. Cei
şapte rezistori care nu sunt notaţi în figură sunt
identici, fiecare având rezistenţa 𝑅. Ce valoare
trebuie să aibă 𝑅$ astfel încât dacă se aplică o
tensiune între punctele A şi B puterea disipată
pe rezistorul de rezistenţă 𝑅% să fie nulă? Se
neglijează rezistenţa conductorilor de legătură.
A) 𝑅$ = ,7𝑅%𝑅 B) 𝑅$ = 9𝑅 C) 𝑅$ = 3𝑅 D) 𝑅$ = &!'&√)
*
2 3®
ln 2 0.693=
M
m
V
3
2
1
2V1V1
p1
2p1
p

Subiect · pagina 8

2
5. Un punct material de masă m este aruncat în sus, pe verticală, de la suprafața
pământului. Punctul material atinge înălțimea maximă hmax și cade înapoi, pe verticală,
până la înălțimea finală (vezi figura din dreapta). Considerând că mișcarea se
face în câmp gravitațional uniform de mărime g, lucrul mecanic total W făcut de forța
de greutate a punctului material în timpul mișcării descrise este:
A) 𝑊 = 𝑚𝑔(ℎ% − ℎ+,-) B) 𝑊 = 𝑚𝑔(ℎ+,- − ℎ%) C) 𝑊 = −𝑚𝑔ℎ% D) 𝑊 = 𝑚𝑔ℎ%
6. O cantitate fixată de gaz ideal descrie o transformare în coordonate
temperatură (T), presiune (p) schiţată în figura alăturată. Cu notaţiile, R
pentru constanta universală a gazelor ideale, şi pentru căldura
molară la volum constant, respectiv căldura molară la presiune constantă a
gazului ideal, căldura Q primită de gaz pentru ca temperatura acestuia să
crească cu ΔT are expresia:
A) 𝑄 = 𝜈𝐶.𝛥𝑇 B) 𝑄 = 𝑝𝛥𝑉 C) 𝑄 = 𝜈𝐶/𝛥𝑇 D) 𝑄 = 𝜈𝑅𝛥𝑇
7. Patru elevi discută despre ce fenomene s-ar putea întâmpla făcând experimente cu un rezistor care respectă legea
lui Ohm şi a cărui temperatură este menţinută constantă. Primul elev afirmă că este posibil ca pentru două
tensiuni diferite între capetele rezistorului să se obţină aceeaşi valoare a intensităţii curentului prin el. Al doilea
elev afirmă că este posibil ca pentru două valori diferite ale intensităţii curentului prin rezistor să se obţină
aceeaşi tensiune pe rezistor. Al treilea elev afirmă că puterea electrică disipată pe rezistor este direct
proporţională cu tensiunea aplicată pe rezistor. Al patrulea elev afirmă că pătratul intensităţii curentului prin
rezistor este direct proporţional cu puterea electrică disipată pe rezistor. Care dintre elevi a făcut o afirmaţie
corectă?
A) Primul elev B) Al doilea elev C) Al treilea elev D) Al patrulea elev
8. În circuitul din figură se cunosc rezistenţa 𝑅, tensiunea electromotoare 𝐸$ şi
rezistenţa internă 𝑟$ a bateriei. Rezistenţa conductorilor de legătură este
neglijabilă. Dacă unim punctele A şi B printr-un conductor de rezistenţă
neglijabilă tensiunea între cele două puncte capătă o anumită valoare. În
continuare, deconectăm conductorul de rezistenţă neglijabilă şi conectăm în
locul lui bornele unei baterii cu tensiunea electromotoare 𝐸" şi rezistenţa internă
𝑟" , constatând că tensiunea între punctele A şi B nu s-a schimbat faţă de cazul
precedent. Ce expresie are tensiunea electromotoare 𝐸" şi unde trebuie conectată
borna negativă a celei de-a doua baterii ?
A) 𝐸" = 0"
0#
𝐸$
Borna negativă a celei
de-a doua baterii
conectată la punctul A
B) 𝐸" = 0#
0"
𝐸$
Borna negativă a celei
de-a doua baterii
conectată la punctul B
C)𝐸" = 0#
0#'0"'& 𝐸$
Borna negativă a celei
de-a doua baterii
conectată la punctul B
D)𝐸" = 0"
0#'0"'& 𝐸$
Borna negativă a celei
de-a doua baterii
conectată la punctul A
0 maxh h<
VC pC
hmax
h0
TΔT
p

Subiect · pagina 9

3
9. Conductorii de legătură utilizaţi în realizarea circuitelor sunt confecţionaţi de obicei din cupru şi deseori se
afirmă că rezistenţa lor este neglijabilă. Pentru a vedea cât de plauzibilă este această afirmaţie un elev calculează
rezistenţa unui conductor cilindric din cupru (𝜌 = 1,7 × 10!1 Ωm ) având lungimea de un metru şi aria secţiunii
transversale de un milimetru pătrat. Ce valoare ar trebui să găsească elevul?
A) 𝑅 = 58,8 Ω B) 𝑅 = 0,017 Ω C) 𝑅 = 1,7 × 10!$2 Ω D) 𝑅 = 1,7 × 10!* Ω
10. Un mobil care se deplasează rectiliniu are viteza v reprezentată în funcție de timpul
t ca în figura din dreapta. Care dintre graficele de mai jos reprezintă corect
accelerația mobilului în funcție de timp?
A) a. B) b. C) c. D) d.
11. O cantitate fixată de gaz ideal efectuează o transformare generală în care presiunea se reduce la jumătate, iar
temperatura absolută se dublează. În această transformare, volumul gazului în starea finală:
A) Creşte de 2 ori B) Creşte de 4 ori C) Scade de 4 ori D) Scade de 2 ori
12. Un corp este suspendat de un fir inextensibil legat de tavanul unui lift. Întregul sistem este în stare de repaus
faţă de Pământ. Acceleraţia gravitaţională 𝑔 este constantă şi frecarea cu aerul se neglijează. La momentul 𝑡%
se taie simultan firul de suspensie a corpului şi cablul de susţinere a liftului. Patru elevi discută despre ce se va
petrece după tăierile simultane. Primul elev afirmă că imediat după momentul 𝑡% liftul se mişcă rectiliniu
uniform accelerat cu acceleraţia 𝑔 faţă de Pământ iar corpul cade şi el dar mai încet astfel încât tavanul îl va
lovi la un moment dat dacă distanţa până la suprafaţa Pământului este suficient de mare. Al doilea elev afirmă
că imediat după momentul 𝑡% atât corpul cât şi liftul se vor mişca spre Pământ cu acceleraţia 𝑔, dar corpul
pleacă un pic mai târziu decât liftul deoarece are masa mai mică. Al treilea elev afirmă că liftul va fi în repaus
faţă de corp până când podeaua lui se ciocneşte de Pământ. Al patrulea elev afirmă că imediat după momentul
𝑡% corpul se va deplasa rectiliniu şi uniform faţă de lift spre tavanul acestuia. Care dintre elevi a făcut o afirmaţie
corectă?
A) Primul elev B) Al doilea elev C) Al treilea elev D) Al patrulea elev
13. O cantitate fixată de gaz ideal monoatomic are în starea iniţială volumul 𝑉$ = 1 m* şi presiunea 𝑝$ =
103 Nm!". Gazul se încălzeşte izocor şi apoi se destinde izobar, astfel încât în starea finală volumul gazului se
dublează iar presiunea se triplează faţă de starea iniţială. Variaţia energiei interne a gazului în acest proces (de
trecere de la starea iniţială la starea finală) este:
A) 650 kJ B) 750 kJ C) 450 kJ D) 550kJ
v
t
a
t
a
t
a
t
a
t
a. b. c. d.

Subiect · pagina 10

4
14. Un corp asimilat ca punct material este lăsat liber pe vârful A al
unui plan înclinat fix cu lungimea catetei orizontale L și înclinarea
θ, ca în figura alăturată. Mișcarea corpului se face fără frecare în
câmp gravitaţional uniform. Valoarea unghiului θ astfel încât
corpul să ajungă la baza planului înclinat în B în cel mai scurt timp,
pentru o valoare fixă a lungimii L, este:
A) 60° B) 75° C) 30° D) 45°
15. La bornele unei baterii cu tensiunea electromotoare 𝐸 şi rezistenţa internă 𝑟 sunt conectate în paralel 𝑁
voltmetre identice. Rezistenţa internă 𝑅/ a fiecăruia din cele 𝑁 voltmetre satisface relaţia 𝑅/ = 2023𝑁𝑟. Ce
expresie are tensiunea 𝑈 măsurată de voltmetre?
A) 𝑈 = "%"*
"%"2 𝐸 B) 𝑈 = "%"2
"%"3 𝐸 C) 𝑈 = 𝐸 D) 𝑈 = "%""
"%"* 𝐸
B
A
θ
L

Subiect · pagina 11

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Subiect · pagina 12

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Barem · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 12.07.2023
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2023
Barem
I. Algebr˘a. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Calculul matricei A2 =
(
10 6
−9 −5
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Justificarea egalit˘at¸ii A2 = 3A − 2I2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul lui (I2 − A)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
G˘asirea lui α = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(b) Egalitatea
(
2 2
−3 −3
)
= −2I2 + A ¸si concluzia
(
2 2
−3 −3
)
∈ T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Justificarea faptului c˘a
(
4 4
−6 −3
)
6
∈ T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Formularea sub forma unei propozit¸ii a propriet˘at¸ii ce trebuie demonstrat˘a ¸si evident¸ierea etapelor
de verificare ¸si de demonstrat¸ie din metoda induct¸iei matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Justificarea relat¸iei din enunt¸ pentru n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Demonstrarea implicat¸iei P (n) =⇒ P (n + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(d) Justificarea faptului c˘a mult¸imea dat˘a este grup ˆın raport cu ˆınmult¸irea matricelor . . . . . . . . . . . 0,5 p
Identificarea condit¸iilor necesare ¸si suficiente ca o mult¸ime cu dou˘a elemente s˘a fie grup . . . . . . 0,5 p
Analiza cazului ˆın care grupul cont¸ine elemente de determinant 6 = 0 ¸si explicitarea
celor 3 grupuri cu aceast˘a proprietate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Analiza cazului ˆın care grupul cont¸ine elemente de determinant = 0 ¸si explicitarea
celor 2 grupuri cu aceast˘a proprietate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
II. Analiz˘a. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Calculul f ′(x) = −x2
1 + x2 pentru orice x ∈ [0, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Justificarea faptului c˘a funct¸ia f este strict descresc˘atoare pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Argumentarea faptului c˘a graficul lui f nu are asimptote verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Determinarea ecuat¸iei asimptotei oblice spre +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Determinarea ecuat¸iei asimptotei oblice spre −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Argumentarea faptului c˘a graficul lui f nu are asimptote orizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p
(b) Aplicarea unei metode de calcul pentru integrala
∫ 1
0
xf (x)dx (de exemplu metoda de integrare
prin p˘art¸i) care s˘a conduc˘a la rezultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Finalizarea calcului integralei
∫ 1
0
xf (x)dx = 3π − 10
12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
(c) Demonstrarea inegalit˘at¸ii: arctg(x) ≤ x, pentru x ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Considerarea funct¸iei x 7 → x − x3
3 − arctg(x) ¸si demonstrarea faptului c˘a funct¸ia definit˘a
anterior este descresc˘atoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrarea inegalit˘at¸ii: x − x3
3 ≤ arctg(x), pentru x ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Barem · pagina 2

2
(d) Obt¸inerea inegalit˘at¸ii: n(n + 1)
2n2 −
n∑
k=1
k3
3n6 ≤
n∑
k=1
arctg
( k
n2
)
≤ n(n + 1)
2n2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Enunt¸area, verificarea condit¸iilor de aplicare a lemei cle¸stelui (i.e. lim
n→∞






n(n + 1)
2n2 −
n∑
k=1
k3
3n6





 =
lim
n→∞
n(n + 1)
2n2 = 1
2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Concluzia: lim
n→∞
(
arctg
( 1
n2
)
+ arctg
( 2
n2
)
+ · · · + arctg
( n
n2
))
= 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
III. Geometrie. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Enunt¸area ¸si folosirea regulii triunghiului sau a paralelogramului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Finalizarea obt¸inerii relat¸iei −→
DN = − 3
4
−→
AD + 1
4
−→
AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Obt¸inerea valorilor a = 1
4 ¸si b = − 1
12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Rescrierea relat¸iei din enunt¸ sub forma −→
P A − −→
P B= −→
P D − −→
P C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(c) Enunt¸area corect˘a a teroremei medianei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Finalizarea calculelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(d) Ideea de folosire a teroremei cosinusului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Considerarea sistemului p · q = x2 + y2 ¸si p + q = 2(x + y) (sau forme echivalente)
¸si rezolvarea lui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Determinarea unghiurilor 3π
4 ¸si π
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Orice rezolvare corect˘a este punctat˘a corespunz˘ator.