Pregătire cu un profesor

Concursul MateInfoUB 2022
- 22 mai 2022 -
Problema 1. Fie ε = −1
2 + i√3
2 . Definim mult¸imea de numere complexe
A = {z ∈ C|z are o scriere de forma z = x + εy, unde x, y ∈ Z}.
(1) Demonstrat¸i c˘a A este parte stabil˘a fat¸˘a de operat¸iile de adunare ¸si de ˆınmult¸ire a numerelor
complexe.
(2) Admitem faptul c˘a (A, +, ·) este un inel comutativ. Not˘am cu U (A) mult¸imea elementelor
inversabile fat¸˘a de ˆınmult¸irea din inelul A. Determinat¸i U (A) ¸si demonstrat¸i c˘a exist˘a num˘arul
natural n pentru care grupurile (U (A), ·) ¸si (Zn, +) sunt izomorfe.
(3) Determinat¸i toate numerele p ∈ A pentru care ecuat¸ia x2 + px + 1 = 0 are (cel put¸in) o solut¸ie
ˆın mult¸imea A.
Problema 2. Fie funct¸ia f : [1, +∞) → R dat˘a prin
f (x) =
√[x] + √{x}
√x ,
unde [x] este partea ˆıntreag˘a a num˘arului real x, iar {x} = x − [x] este partea fract¸ionar˘a a num˘arului
real x.
(1) Demonstrat¸i c˘a f este cresc˘atoare pe intervalul [k, k + 1) pentru orice k ∈ N∗.
(2) Determinat¸i Im(f ), adic˘a mult¸imea valorilor lui f . Determinat¸i apoi valorile lui λ ∈ R pentru
care mult¸imea Aλ are exact 2022 elemente, unde
Aλ = {x ∈ R| f (x) = λ}.
(3) Demonstrat¸i c˘a funct¸ia f este integrabil˘a pe orice interval de forma [n, n + 1] cu n ∈ N∗.
Ar˘atat¸i apoi c˘a ¸sirul (In)n≥1 definit prin In =
n+1∫
n
f (x)dx este convergent ¸si determinat¸i limita
acestuia.
Subiectele continu˘a ¸si pe verso!

Subiect · pagina 2

Problema 3. Fie ABCD un patrulater convex.
(1) Dac˘a M, N, P, Q sunt mijloacele laturilor AB, BC, CD, respectiv DA, iar O este un punct
interior patrulaterului, demonstrat¸i c˘a
AOM BN + AOP DQ = AON CP + AOQAM
¸si
POM BN + POP DQ = PON CP + POQAM ,
unde AXY ZW , PXY ZW reprezint˘a aria, respectiv perimetrul patrulaterului XY ZW.
(2) Fie punctele E, F, G ¸si H situate pe laturile AB, BC, CD, respectiv DA ale patrulaterului
astfel ca: AE
EB = BF
F C = CG
GD = DH
HA = 1
2.
Presupunem c˘a exist˘a un punct Z ˆın interiorul patrulaterului, astfel ˆıncˆat
PZEBF + PZGDH = PZF CG + PZHAE .
Ar˘atat¸i c˘a exist˘a un punct T ˆın interiorul patrulaterului ABCD, astfel ˆıncˆat
(∗) PT EBF + PT GDH = PT F CG + PT HAE
¸si
(◦) AT EBF + AT GDH = AT F CG + AT HAE .
(3) Cu ipotezele ¸si notat¸iile de la punctul (2) presupunem, ˆın plus, c˘a patrulaterul ABCD nu este
romb. Demonstrat¸i c˘a nu exist˘a trei puncte necoliniare T1, T2, T3, ce ˆındeplinesc relat¸iile (∗)
¸si (◦).
Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.

Deschide documentul original

Barem · 3 pagini

Barem · pagina 1

Concursul MateInfoUB 2022
Barem
Barem de punctaj pentru Problema 1:
din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
(1) Demonstreaz˘a c˘a A este parte stabil˘a la adunare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Folose¸ste implicit sau demonstreaz˘a explicit relat¸ia ε2 + ε + 1 = 0, sau o relat¸ie echivalent˘a . . . . 10p
Demonstreaz˘a c˘a A este parte stabil˘a la ˆınmult¸ire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
(2) Folose¸ste definit¸ia elementului inversabil ¸si deduce un sistem de ecuat¸ii de tipul ac − bd = 1,
bc + ad − bd = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10p
Rezolv˘a sistemul (aflˆand c ¸si d ˆın funct¸ie de a ¸si b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Deduce (ˆın cazul ab 6 = 0) c˘a |a| ≥ a2 − ab + b2 ¸si |b| ≥ a2 − ab + b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
Finalizeaz˘a calculele ¸si g˘ase¸ste elementele inversabile {1, −1, ε, −ε, 1 + ε = −ε2, −1 − ε = ε2} . . . . 5p
Arat˘a c˘a (U (A), ·) are un element de ordin 6 (sau folose¸ste faptul c˘a un grup comutativ cu 6 elemente
este ciclic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Solut¸ie alternativ˘a:
Folose¸ste definit¸ia, aplic˘a modulul ¸si deduce o relat¸ie de tipul (a2 − ab + b2)(c2 − cd + d2) = 1 10p
Prelucreaz˘a egalitatea modulelor ¸si deduce a2 − ab + b2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Scrie egalitatea sub forma (2a − b)2 + 3b2 = 4 (sau echivalent) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
Finalizeaz˘a calculele ¸si g˘ase¸ste elementele inversabile {1, −1, ε, −ε, 1 + ε = −ε2, −1 − ε = ε2} . . . . 5p
Define¸ste explicit o funct¸ie de la (U (A), ·) la (Z6, +), de exemplu ϕ : (U (A), ·) → (Z6, +) definit˘a prin
ϕ((−ε)j ) = j (mod 6) pentru orice j, ¸si arat˘a c˘a este izomorfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
(3) Observ˘a c˘a o solut¸ie a ecuat¸iei este din U (A). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10p
Obt¸ine p ∈ {1, −1, 2, −2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Solut¸ie alternativ˘a:
Scrie p = a + εb, x = m + εn, apoi deduce un sistem cu necunoscutele ˆıntregi a, b, m, n . . . . . . 10p
Obt¸ine p ∈ {1, −1, 2, −2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p

Barem · pagina 2

Observat¸ie: Pentru identificarea unor cazuri particulare (de exemplu, observat¸ia c˘a p = 1 este
bun, pentru c˘a o solut¸ie este ε) se pot obt¸ine maxim 5 puncte, care nu se cumuleaz˘a cu cele de mai
sus.
Barem de punctaj pentru Problema 2:
din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
(1) Expliciteaz˘a funct¸ia pe intervalul [k; k + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Calculeaz˘a derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Observ˘a faptul c˘a derivata este strict pozitiv˘a ¸si obt¸ine monotonia funct¸iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
(2) Determin˘a imaginea funct¸iei pe fiecare interval [k; k + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Determin˘a imaginea lui f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Afirm˘a ¸si demonstreaz˘a faptul c˘a “Ecuat¸ia f (x) = λ are cel mult o solut¸ie ˆın fiecare din intervalele
[k; k + 1)” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10p
Determin˘a mult¸imea valorilor lui λ adic˘a
[√2023+1√2024 ; √2022+1√2023
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
(3) Demonstreaz˘a c˘a funct¸ia f este integrabil˘a pe intervalul [n, n + 1] (de exemplu, pentru c˘a difer˘a
de o funct¸ie continu˘a ˆıntr-un singur punct) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
Demonstreaz˘a o inegalitate de forma 1 ≤ In ≤ √n+1
√n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Aplic˘a “Lema cle¸stelui” ¸si obt¸ine lim
n→+∞ In = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
Barem de punctaj pentru Problema 3:
din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
(1) Observ˘a c˘a OM este median˘a ˆın triunghiul OAB, deci AOM A = AOM B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Deduce egalitatea de arii din enunt¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Arat˘a egalitatea perimetrelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
(2) Scrie egalitatea din enunt¸ ¸si deduce AB + CD = BC + AD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Deduce c˘a pentru orice punct din interiorul patrulaterului avem egalitatea perimetrelor . . . . . . . . 10p
Demonstreaz˘a c˘a patrulaterul este circumscriptibil ¸si c˘a centrul cercului ˆınscris verific˘a egalitatea de
arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20p
Solut¸ie alternativ˘a:
Scrie egalitatea din enunt¸ ¸si deduce AB + CD = BC + AD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Deduce c˘a pentru orice punct din interiorul patrulaterului avem egalitatea perimetrelor . . . . . . . . 10p

Barem · pagina 3

Arat˘a c˘a mijlocul uneia din diagonale verific˘a egalitatea de arii din enunt¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20p
(3) Exprim˘a analitic (prin intermediul unor determinant¸i) egalitatea de arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Deduce c˘a dac˘a ABCD nu e romb, mult¸imea c˘autat˘a este un segment de dreapt˘a . . . . . . . . . . . . . 10p
Solut¸ie alternativ˘a:
Demonstreaz˘a c˘a locul geometric al punctelor din interior pentru care exist˘a egalitatea de arii din
enunt¸ este sau un segment, sau tot interiorul patrulaterului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Concluzia: dac˘a ABCD nu e romb, mult¸imea c˘autat˘a este un segment de dreapt˘a . . . . . . . . . . . . . 10p

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2022Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 1; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2022Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 2; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2022Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 3; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2022Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 4; broșură comunăDeschide fișa Concurs de pregătire · 2022Informatică · Etapa a II-aDeschide fișa Examen de admitere · 2023Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 1; broșură comunăDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2022 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2022

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1

Subiect · pagina 2

Barem · pagina 1

Barem · pagina 2

Barem · pagina 3

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?